L'ensemble vide est-il un sous-ensemble propre ou impropre
Savoir si l’ensemble vide (\(\emptyset\)) est un sous-ensemble propre ou impropre d’un autre ensemble dépend de la définition que l’on retient pour « sous-ensemble propre ».
On distingue principalement deux interprétations :
- L’ensemble vide considéré comme un sous-ensemble propre
Selon cette approche, un sous-ensemble \(B\) d’un ensemble \(A\) est dit propre s’il contient certains éléments de \(A\) mais pas la totalité. Dans ce cadre, l’ensemble vide est un sous-ensemble propre de tout ensemble non vide, puisqu’il est inclus dans tout ensemble (\(B \subseteq A\)) et qu’il est différent de tout ensemble qui contient au moins un élément (\(A \neq B\)). En revanche, il n’est pas un sous-ensemble propre de lui-même, car l’ensemble vide est identique à lui-même (\(\emptyset = \emptyset\)). - L’ensemble vide considéré comme un sous-ensemble impropre
D’après une autre définition, l’ensemble vide est toujours considéré comme un sous-ensemble impropre de tout ensemble, y compris de lui-même. Ce point de vue s’appuie sur l’idée qu’un « sous-ensemble propre » doit contenir au moins un élément de l’ensemble de référence. L’ensemble vide, ne possédant aucun élément, ne peut donc satisfaire à cette condition.
De manière générale, la plupart des mathématiciens considèrent que l’ensemble vide est un sous-ensemble propre de tout ensemble non vide, mais qu’il constitue un sous-ensemble impropre de lui-même.
Les divergences que l’on rencontre dans la littérature proviennent souvent des différentes définitions données au concept de sous-ensemble propre.
Remarque : Bien que la distinction entre sous-ensembles propres et impropres puisse paraître subtile, elle est essentielle dans l’étude approfondie de la théorie des ensembles et dans de nombreux autres domaines des mathématiques.
Et ainsi de suite.
