Beeld van de afsluiting onder een continue afbeelding

Zij $ f : X \to Y $ een continue afbeelding en zij $ A \subset X $. Als een punt $ x \in X $ tot de afsluiting van $ A $ behoort, dus $ x \in Cl(A) $, dan behoort het beeld $ f(x) $ tot de afsluiting van het beeld van $ A $, dat wil zeggen $ f(x) \in Cl(f(A)) $.

Deze stelling drukt een fundamentele eigenschap van continue afbeeldingen uit: ze behouden topologische nabijheid. Wat "dicht bij" een verzameling ligt, blijft dat ook na toepassing van de functie.

Concreet betekent dit dat punten die tot de afsluiting van een verzameling behoren, door een continue afbeelding niet "loskomen" van die structuur. Hun beeld blijft verbonden met het beeld van de oorspronkelijke verzameling.

Illustratief voorbeeld
Bewijs

Illustratief voorbeeld

Beschouw de continue afbeelding $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, gegeven door $ f(x) = x^2 $, op de topologische ruimte $ X = \mathbb{R} $, en de verzameling $ A = (0, 2) \subseteq \mathbb{R} $.

$$ A = (0,2) $$

De afsluiting van $ A $ is $ Cl(A) = [0, 2] $. Dit betekent dat we naast alle punten van $ A $ ook de grenspunten $ 0 $ en $ 2 $ meenemen. Deze punten liggen niet in $ A $, maar kunnen wel benaderd worden door punten uit $ A $.

$$ Cl(A) = [0,2] $$

Het beeld van $ A $ onder $ f $ is $ f(A) = (0, 4) $. Voor waarden van $ x $ tussen $ 0 $ en $ 2 $ neemt $ x^2 $ namelijk alle waarden strikt tussen $ 0 $ en $ 4 $ aan.

$$ f(A) = (0,4) $$

De afsluiting van $ f(A) $ is het gesloten interval $ Cl(f(A)) = [0, 4] $. We voegen dus opnieuw de grenswaarden toe, die overeenkomen met de limieten van $ f(x) $ wanneer $ x $ de randen van $ A $ nadert.

$$ Cl(f(A)) = [0,4] $$

De stelling zegt nu dat elk punt uit $ Cl(A) $ door $ f $ wordt afgebeeld op een punt in $ Cl(f(A)) $.

Voor $ x = 0 \in Cl(A) $ geldt $ f(0) = 0 \in Cl(f(A)) $.
Voor $ x = 2 \in Cl(A) $ geldt $ f(2) = 4 \in Cl(f(A)) $.
Voor alle $ 0 < x < 2 $ met $ x \in Cl(A) $ blijft ook $ f(x) $ in $ Cl(f(A)) $.

Dit voorbeeld laat duidelijk zien hoe de eigenschap werkt: de afsluiting wordt als het ware "meegenomen" door de functie.

Bewijs

Zij $ f : X \to Y $ een continue afbeelding, met $ x \in X $ en $ A \subset X $.

We bewijzen de stelling via tegenspraak. Stel dat $ f(x) \notin Cl(f(A)) $.

$$ f(x) \notin Cl(f(A)) $$

Volgens de definitie van afsluiting bestaat er dan een open omgeving $ B \subseteq Y $ die $ f(x) $ bevat en geen enkel punt van $ f(A) $ raakt, dus $ B \cap f(A) = \emptyset $.

Omdat $ f $ continu is, is het inverse beeld $ f^{-1}(B) $ een open omgeving van $ x $ in $ X $.

Uit $ B \cap f(A) = \emptyset $ volgt bovendien dat $ f^{-1}(B) \cap A = \emptyset $.

Dit betekent dat er een open omgeving van $ x $ bestaat die geen enkel punt van $ A $ bevat. Daaruit volgt dat $ x \notin Cl(A) $.

We hebben dus aangetoond dat uit $ f(x) \notin Cl(f(A)) $ volgt dat $ x \notin Cl(A) $. Dit is logisch equivalent met de oorspronkelijke stelling.

Opmerking: De kern van het bewijs ligt in de definitie van continuïteit: het inverse beeld van een open verzameling is opnieuw open. Hierdoor wordt de topologische structuur van de ruimte behouden onder de afbeelding.

Daarmee is de stelling bewezen.