Topologische inbeddingen
In de topologie is een inbedding een continue en injectieve afbeelding \( f: X \rightarrow Y \) tussen twee topologische ruimten \( X \) en \( Y \), waarbij \( f \) een homeomorfisme induceert tussen \( X \) en het beeld \( f(X) \). Het beeld \( f(X) \) wordt daarbij uitgerust met de door \( Y \) geïnduceerde deelruimtetopologie.
Intuïtief betekent dit dat een inbedding een topologische ruimte "plaatst" binnen een andere ruimte zonder haar topologische structuur te vervormen.
Een afbeelding is dus een inbedding wanneer aan de volgende drie voorwaarden wordt voldaan:
- de afbeelding \( f \) is continu;
- \( f \) is injectief, dus verschillende punten van \( X \) krijgen verschillende beelden in \( Y \);
- de inverse afbeelding \( f^{-1} \), gedefinieerd op \( f(X) \), is eveneens continu met betrekking tot de deelruimtetopologie op \( f(X) \).
Een inbedding bewaart dus de topologische eigenschappen van \( X \) binnen het beeld \( f(X) \). Daarom kan \( f(X) \) worden beschouwd als een topologische deelruimte van \( Y \).
Een concreet voorbeeld
Beschouw de volgende twee topologische ruimten:
- Ruimte \( X \)
De verzameling \( X = \{a, b, c\} \), uitgerust met de topologie \( \mathcal{T}_X = \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, X\} \). - Ruimte \( Y \)
De verzameling \( Y = \{1, 2, 3, 4\} \), uitgerust met de topologie \( \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, Y\} \).
Definieer nu een afbeelding \( f: X \rightarrow Y \) door:
$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$
We gaan stap voor stap na of deze afbeelding een inbedding is.
1] Continuïteit van \( f \)
Een afbeelding \( f: X \rightarrow Y \) is continu (zie de definitie via open verzamelingen) wanneer het inverse beeld van iedere open verzameling van \( Y \) opnieuw een open verzameling van \( X \) is.
We controleren dit voor alle open verzamelingen van \( Y \):
- \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in \mathcal{T}_X \);
- \( f^{-1}(\{1\}) = \{a\} \in \mathcal{T}_X \);
- \( f^{-1}(\{1, 2\}) = \{a, b\} \in \mathcal{T}_X \);
- \( f^{-1}(\{1, 2, 3\}) = X \in \mathcal{T}_X \);
- \( f^{-1}(Y) = X \in \mathcal{T}_X \).
Alle inverse beelden zijn dus open in \( X \). Hieruit volgt dat \( f \) continu is.
2] Injectiviteit
De afbeelding \( f \) is injectief, omdat verschillende elementen van \( X \) naar verschillende elementen van \( Y \) worden gestuurd:
$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$
3] Continuïteit van de inverse afbeelding
Het beeld van \( f \) is:
$$ f(X) = \{1,2,3\} \subset Y $$
Op deze verzameling beschouwen we de deelruimtetopologie, geïnduceerd door \( Y \):
$$ \mathcal{T}_{f(X)} = \{\emptyset, \{1\}, \{1,2\}, \{1,2,3\}\} $$
Opmerking. De deelruimtetopologie op een deelverzameling van een topologische ruimte wordt verkregen door de open verzamelingen van de oorspronkelijke ruimte te doorsnijden met die deelverzameling.
In dit voorbeeld:
- \( Y = \{1,2,3,4\} \) met topologie \( \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{1,2\}, \{1,2,3\}, \{1,2,3,4\}\} \);
- \( f(X) = \{1,2,3\} \subset Y \).
De doorsneden met \( f(X) \) zijn:
- \( \emptyset \cap \{1,2,3\} = \emptyset \)
- \( \{1\} \cap \{1,2,3\} = \{1\} \)
- \( \{1,2\} \cap \{1,2,3\} = \{1,2\} \)
- \( \{1,2,3\} \cap \{1,2,3\} = \{1,2,3\} \)
- \( \{1,2,3,4\} \cap \{1,2,3\} = \{1,2,3\} \)
Daaruit volgt:
$$ \mathcal{T}_{f(X)} = \{\emptyset, \{1\}, \{1,2\}, \{1,2,3\}\} $$
We controleren nu of de inverse afbeelding \( f^{-1}: f(X) \rightarrow X \) continu is.
Daarvoor moet het inverse beeld van iedere open verzameling van \( X \) open zijn in \( f(X) \):
- \( \emptyset \mapsto \emptyset \), open in \( \mathcal{T}_{f(X)} \);
- \( \{a\} \mapsto \{1\} \), open in \( \mathcal{T}_{f(X)} \);
- \( \{a,b\} \mapsto \{1,2\} \), open in \( \mathcal{T}_{f(X)} \);
- \( X \mapsto \{1,2,3\} \), open in \( \mathcal{T}_{f(X)} \).
De inverse afbeelding \( f^{-1} \) is dus continu.
We kunnen daarom concluderen dat \( f \) een inbedding van \( X \) in \( Y \) is.
Hoewel het beeld \( f(X)=\{1,2,3\} \) niet de volledige ruimte \( Y \) vormt, behoudt het wel exact dezelfde topologische structuur als \( X \).
Verschil tussen een inbedding en een homeomorfisme
Een inbedding en een homeomorfisme lijken sterk op elkaar, maar ze beschrijven niet hetzelfde concept.
- Homeomorfisme
Een homeomorfisme is een continue bijectie waarvan ook de inverse afbeelding continu is. Twee ruimten die homeomorf zijn, zijn topologisch volledig equivalent. - Inbedding
Een inbedding plaatst een topologische ruimte binnen een grotere ruimte, terwijl de oorspronkelijke topologische structuur behouden blijft binnen het beeld van de afbeelding.
Kort gezegd: een homeomorfisme vergelijkt twee volledige topologische ruimten, terwijl een inbedding beschrijft hoe één ruimte als deelruimte binnen een andere ruimte kan worden opgenomen zonder topologische vervorming.
Enzovoort...
