Continue afbeeldingen en convergente rijen

Zij $ f : X \to Y $ een continue afbeelding en $ (x_n) $ een rij in $ X $ die convergeert naar een punt $ x $. Dan convergeert de beeldrij $ (f(x_n)) $ naar $ f(x) $ in $ Y $.

In eenvoudiger termen: een continue functie verstoort de limiet niet. Als een rij naar een bepaald punt nadert, dan doen de beelden onder de functie precies hetzelfde.

Dit idee is fundamenteel in de analyse: continuïteit garandeert dat het gedrag van een rij behouden blijft wanneer we er een functie op toepassen.

Voorbeeld
Bewijs

Voorbeeld

Neem de functie $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ gegeven door $ f(x) = 2x $, en de rij $ x_n = \frac{1}{n} $, met $ n \in \mathbb{N} $.

De rij $ (x_n) $ convergeert naar $ 0 $ wanneer $ n \to \infty $. De eerste termen zijn:

$ x_1 = 1 $, $ x_2 = \frac{1}{2} $, $ x_3 = \frac{1}{3} $, enzovoort.

Naarmate $ n $ groter wordt, worden de termen steeds kleiner en naderen ze $ 0 $.

Laten we nu bekijken wat er gebeurt als we de functie $ f $ op deze termen toepassen:

$$ f(x_1) = f(1) = 2 $$

$$ f(x_2) = f\left(\frac{1}{2}\right) = 1 $$

$$ f(x_3) = f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} $$

$$ \dots $$

De nieuwe rij $ (f(x_n)) = (2x_n) $ wordt dus: $ 2, 1, \frac{2}{3}, \dots $, en deze rij convergeert opnieuw naar $ 0 $.

We zien dus dat:

$ f(x_n) \to f(0) = 0 $

Dit is precies wat de stelling voorspelt: de limiet van de oorspronkelijke rij wordt behouden door de functie.

Bewijs

We tonen nu formeel aan dat $ f(x_n) \to f(x) $, uitgaande van de aannames dat $ f $ continu is en $ x_n \to x $ in $ X $.

Volgens de definitie van continuïteit heeft een continue afbeelding de eigenschap dat het inverse beeld van elke open verzameling in $ Y $ opnieuw open is in $ X $.

We gebruiken deze eigenschap om te laten zien dat de beelden $ f(x_n) $ uiteindelijk willekeurig dicht bij $ f(x) $ komen te liggen.

Stap 1: Kies een open omgeving

Laat $ U $ een willekeurige open omgeving van $ f(x) $ zijn in $ Y $.

We willen aantonen dat er een $ N \in \mathbb{N} $ bestaat zodat voor alle $ n \geq N $ geldt: $ f(x_n) \in U $.

Stap 2: Bekijk het inverse beeld

Omdat $ f $ continu is, is $ f^{-1}(U) $ een open deelverzameling van $ X $.

Aangezien $ f(x) \in U $, volgt dat $ x \in f^{-1}(U) $.

Stap 3: Gebruik de convergentie van de rij

Omdat $ x_n \to x $, geldt dat voor elke open omgeving van $ x $, en dus ook voor $ f^{-1}(U) $, er een index $ N $ bestaat zodat $ x_n \in f^{-1}(U) $ voor alle $ n \geq N $.

Stap 4: Trek de conclusie

Hieruit volgt direct dat voor alle $ n \geq N $: $ f(x_n) \in U $.

Dus $ f(x_n) \to f(x) $, wat precies is wat we wilden bewijzen.

We concluderen dat een continue afbeelding de limiet van een convergente rij bewaart: als $ x_n \to x $, dan geldt ook $ f(x_n) \to f(x) $.