Continuïteit van de inclusie-afbeelding

Zij $ X $ een topologische ruimte en $ Y \subseteq X $ een deelverzameling. De inclusie-afbeelding $ f : Y \to X $ wordt gedefinieerd door $ f(y) = y $ voor elke $ y \in Y $. Deze afbeelding is continu.

De inclusie-afbeelding doet op het eerste gezicht iets heel eenvoudigs: ze laat elk element van $ Y $ onveranderd. Toch zit er een belangrijk idee achter. Elk punt van $ Y $ wordt namelijk beschouwd als onderdeel van een grotere ruimte, namelijk $ X $.

Met andere woorden, $ f $ neemt een punt uit $ Y $ en plaatst het in de bredere context van $ X $, zonder iets aan het punt zelf te veranderen.

Vanuit topologisch perspectief is deze afbeelding continu. Dat is geen toeval, maar een direct gevolg van hoe de topologie op $ Y $ is gedefinieerd.

Opmerking : De inclusie-afbeelding moet niet worden verward met de identiteitsafbeelding. Hoewel beide hetzelfde voorschrift hebben, werken ze in verschillende contexten. De inclusie verbindt een deelruimte met de totale ruimte, terwijl de identiteitsafbeelding binnen één en dezelfde ruimte blijft.

Waarom is ze continu?

In de topologie heet een afbeelding continu als het inverse beeld van elke open verzameling opnieuw open is. Concreet betekent dit dat voor elke open verzameling $ U \subset X $, de verzameling $ f^{-1}(U) $ open moet zijn in $ Y $.

Hier komt de deelruimtetopologie in beeld. Volgens de definitie zijn de open verzamelingen van $ Y $ precies de doorsneden van open verzamelingen van $ X $ met $ Y $.

$$ f^{-1}(U) = U \cap Y $$

Dat betekent dat het inverse beeld van een open verzameling $ U $ automatisch de vorm $ U \cap Y $ heeft. En precies zulke verzamelingen zijn, per definitie, open in $ Y $.

Daarom is de inclusie-afbeelding $ f $ continu.

Opmerking : Dit laat duidelijk zien dat de deelruimtetopologie zo is opgebouwd dat de inclusie-afbeelding vanzelf continu is. Continuïteit is hier geen extra eigenschap, maar zit al ingebakken in de definitie.

Een concreet voorbeeld

Neem $ X = \mathbb{R} $, de reële lijn, en $ Y = (0, 1) $, het open interval tussen 0 en 1.

De inclusie-afbeelding $ f : Y \to X $ wordt gegeven door:

$$ f(y) = y \quad \text{voor alle} \quad y \in (0,1) $$

We doen dus niets anders dan de punten van $ (0,1) $ bekijken als punten op de hele reële lijn.

Neem nu een open verzameling in $ X $, bijvoorbeeld het interval $ U = (-1, 0{,}5) $.

voorbeeld van een inclusie-afbeelding waarbij een open interval wordt doorgesneden met een deelruimte

Het inverse beeld van $ U $ onder $ f $ is:

$$ U \cap Y = (-1, 0{,}5) \cap (0, 1) = (0, 0{,}5) $$

Dit is opnieuw een open interval, nu binnen $ Y $. Precies zoals de definitie van de deelruimtetopologie voorschrijft.

Omdat dit werkt voor elke open verzameling $ U \subset X $, volgt dat de inclusie-afbeelding $ f : Y \to X $ continu is.

En zo verder.