Continuïteit van de quotiëntafbeelding
In de quotiënttopologie is een surjectieve afbeelding \( f : X \to A \) automatisch continu. Dat volgt rechtstreeks uit de definitie: een deelverzameling \( V \subseteq A \) is open als en slechts als de inverse afbeelding \( f^{-1}(V) \) een open deelverzameling is van \( X \).
Neem een topologische ruimte \( X \) en een surjectieve afbeelding \( f : X \to A \), waarbij \( A \) een willekeurige verzameling is. Het is daarbij niet nodig dat \( A \) een deelverzameling van \( X \) is.
De quotiënttopologie op \( A \) wordt precies zo gekozen dat de afbeelding \( f \) continu is. Met andere woorden, de continuïteit van \( f \) is geen extra eigenschap die nog moet worden aangetoond, maar zit al ingebouwd in de definitie.
Concreet betekent dit dat een deelverzameling \( V \subseteq A \) open is als en slechts als de inverse afbeelding \( f^{-1}(V) \) open is in \( X \).
Opmerking : Omdat de quotiënttopologie volledig gebaseerd is op de openheid van inverse beelden, is de continuïteit van \( f \) meteen gegarandeerd.
Een concreet voorbeeld
Beschouw de topologische ruimte \( X = \{a, b, c\} \), bestaande uit drie verschillende elementen.
Definieer een surjectieve afbeelding \( f : X \to A \), met \( A = \{1, 2\} \), als volgt:
- \( f(a) = f(b) = 1 \)
- \( f(c) = 2 \).
De afbeelding \( f \) voegt dus de punten \( a \) en \( b \) samen door ze beide af te beelden op hetzelfde punt \( 1 \) in \( A \).
Volgens de definitie van de quotiënttopologie is een deelverzameling \( V \subseteq A \) open als en slechts als de inverse afbeelding \( f^{-1}(V) \) open is in \( X \).
Neem bijvoorbeeld \( V = \{1\} \subseteq A \). Dan geldt \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \). Als \( \{a, b\} \) open is in \( X \), dan is \( V \) ook open in \( A \).
In dit voorbeeld zijn de open verzamelingen van \( A \): \( \emptyset \), \( \{1, 2\} \) en \( \{2\} \).
- \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \), en deze verzameling is altijd open
- \( f^{-1}(\{1, 2\}) = \{a, b, c\} \), dus de volledige ruimte \( X \), en dus open
- \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \), open in \( X \)
- \( f^{-1}(\{2\}) = \{c\} \), eveneens open in \( X \)
Hieruit zie je dat elke open verzameling in \( A \) een open inverse afbeelding heeft in \( X \). Precies dat is de definitie van continuïteit.
Samengevat, de continuïteit van \( f \) volgt direct uit de manier waarop de quotiënttopologie op \( A \) is gedefinieerd.
Enzovoort.
