Continuïteit van samengestelde afbeeldingen

Zij $ f : X \to Y $ en $ g : Y \to Z $ continue afbeeldingen. Dan is ook de samengestelde afbeelding $ g \circ f : X \to Z $ continu.

Deze stelling legt een fundamentele eigenschap van continue afbeeldingen vast. Wanneer twee functies elk afzonderlijk continu zijn, blijft deze eigenschap behouden als we ze na elkaar toepassen.

Gegeven:

$ f : X \to Y $
$ g : Y \to Z $

definiëren we de samengestelde afbeelding $ g \circ f $ door eerst $ f $ toe te passen en vervolgens $ g $. Het resultaat is opnieuw een continue afbeelding.

Met andere woorden, continuïteit gaat niet verloren bij het samenstellen van functies.

Illustratief voorbeeld
Formeel bewijs

Illustratief voorbeeld

We bekijken een concreet voorbeeld van een samengestelde afbeelding $ g \circ f(x) $. Hierbij is $ f $ de binnenste functie en $ g $ de buitenste.

$$ f(x) = x^2 \quad \text{gedefinieerd op} \quad \mathbb{R} $$

$$ g(y) = \frac{y}{2} \quad \text{gedefinieerd op} \quad \mathbb{R} $$

Beide functies zijn continu op $ \mathbb{R} $.

We onderzoeken nu of de samengestelde functie $ g \circ f(x) $ ook continu is.

Neem het open interval $ (-2, 2) \subset \mathbb{R} $.

Het beeld van dit interval onder $ f $ is $ (0, 4) $, omdat $ f(x) = x^2 $ op dit domein enkel strikt positieve waarden aanneemt.

Dit interval vormt vervolgens het invoergebied voor $ g $. Het beeld van $ f $ ligt dus volledig binnen het domein van $ g $.

Het beeld van $ (0, 4) $ onder $ g $ is $ (0, 2) $, opnieuw een open interval.

Daaruit volgt dat het inverse beeld van $ (0, 2) $ onder de samengestelde functie $ g \circ f(x) = \frac{x^2}{2} $ ook open is.

Dit laat zien dat de samengestelde functie op dit interval voldoet aan de definitie van continuïteit.

Omdat dezelfde redenering geldt voor elke open deelverzameling van $ \mathbb{R} $, concluderen we dat $ g \circ f $ continu is op heel $ \mathbb{R} $.

Formeel bewijs

We formuleren nu een beknopt maar volledig bewijs.

$ f : X \to Y $
$ g : Y \to Z $

Zij $ U \subseteq Z $ een open verzameling. Om aan te tonen dat $ g \circ f $ continu is, moeten we bewijzen dat het inverse beeld $ (g \circ f)^{-1}(U) $ open is in $ X $.

Aangezien $ g $ continu is, is $ g^{-1}(U) $ een open verzameling in $ Y $.

Omdat $ f $ continu is, is ook $ f^{-1}(g^{-1}(U)) $ open in $ X $.

Maar dit is precies het inverse beeld $ (g \circ f)^{-1}(U) $.

Hieruit volgt dat $ (g \circ f)^{-1}(U) $ open is in $ X $.

Daarmee is aangetoond dat de samengestelde afbeelding voldoet aan de definitie van continuïteit: het inverse beeld van elke open verzameling is opnieuw open.