De deelruimtetopologie van een productruimte
Zij \(A\) en \(B\) deelverzamelingen van respectievelijk de topologische ruimten \(X\) en \(Y\), $$ A \subseteq X $$ $$ B \subseteq Y $$ dan komt de topologie op het product \(A \times B\), opgevat als deelruimte van \(X \times Y\), overeen met de producttopologie op \(A \times B\) die wordt geconstrueerd uit de door \(X\) en \(Y\) geïnduceerde topologieën op \(A\) en \(B\): $$ \quad \tau_{A \times B}^{\text{sub}} = \tau_A^{\text{sub}} \times \tau_B^{\text{sub}} $$
Hierbij staat \(\tau_{A \times B}^{\text{sub}}\) voor de deelruimtetopologie op \(A \times B\), geïnduceerd door de topologie van \(X \times Y\).
De symbolen \(\tau_A^{\text{sub}}\) en \(\tau_B^{\text{sub}}\) duiden de deelruimtetopologieën op respectievelijk \(A\) en \(B\) aan, zoals die worden overgeërfd van \(X\) en \(Y\).
De kern van deze stelling is eenvoudig maar belangrijk: beide manieren om een topologie op \(A \times B\) te definiëren leiden tot precies dezelfde uitkomst.
Of je nu vertrekt vanuit het grotere geheel \(X \times Y\) en daarbinnen \(A \times B\) bekijkt, of eerst \(A\) en \(B\) afzonderlijk van een topologie voorziet en daarna hun product vormt, het resultaat blijft identiek.
De topologische structuur van \(A \times B\) hangt dus niet af van de gekozen constructie, maar is intrinsiek bepaald.
Een concreet voorbeeld
We maken dit concreet met een eenvoudig voorbeeld.
Neem twee topologische ruimten \(X\) en \(Y\). Denk aan het cartesisch vlak, waarbij \(X\) de x-as voorstelt en \(Y\) de y-as.
Kies twee deelverzamelingen: \(A \subseteq X\) en \(B \subseteq Y\).
Bijvoorbeeld: \(A = [1, 2]\), een interval op de x-as, en \(B = [3, 4]\), een interval op de y-as.
Het cartesisch product \(A \times B\) bestaat dan uit alle punten \((x, y)\) waarvoor \(x \in A\) en \(y \in B\).
Geometrisch gezien krijg je een rechthoek in het vlak, met zijden evenwijdig aan de assen: \(x\) loopt van 1 tot 2, en \(y\) van 3 tot 4.
Er zijn nu twee manieren om een topologie op deze rechthoek te definiëren:
- Deelruimtetopologie
Beschouw \(A \times B\) als een deelverzameling van het volledige vlak \(X \times Y\), dat is uitgerust met de producttopologie. De topologie op \(A \times B\) ontstaat dan door deze grotere topologie te beperken tot de rechthoek. - Producttopologie
Voorzie eerst \(A\) en \(B\) van de topologieën die ze erven van \(X\) en \(Y\). Vorm vervolgens de producttopologie op \(A \times B\) uit deze twee deelruimtetopologieën.
Hoewel deze twee benaderingen verschillend lijken, leveren ze exact dezelfde verzameling open verzamelingen op.
Met andere woorden: de topologie op \(A \times B\) is volledig onafhankelijk van de weg die je volgt om haar te construeren.
En zo verder...
