Definitie van continuïteit via open verzamelingen

Een functie $ f : X \to Y $ heet continu als, en alleen als, voor elk punt $ x \in X $ en elke open verzameling $ U \subset Y $ met $ f(x) \in U $, er een omgeving $ V $ van $ x $ bestaat zodanig dat $ f(V) \subset U $.

Deze definitie lijkt abstract, maar het idee is eenvoudig: kleine veranderingen rond $ x $ blijven, via de functie $ f $, binnen een “veilige zone” rond $ f(x) $.

Er is ook een equivalente, vaak gebruikte formulering:

Een functie is continu als het inverse beeld van elke open verzameling opnieuw open is.

Met andere woorden, voor elke open verzameling $ U \subset Y $ geldt dat $ f^{-1}(U) $ een open verzameling is in $ X $.

intuïtieve voorstelling van continuïteit

Deze benadering is fundamenteel in de topologie, omdat ze continuïteit beschrijft zonder gebruik te maken van afstanden, maar alleen via de structuur van open verzamelingen.

Opmerking: Deze formulering is equivalent aan de klassieke $\varepsilon$-$\delta$-definitie uit de analyse. Die luidt: "Een functie $ f $ is continu in $ x_0 $ als voor elke $\varepsilon > 0$ er een $\delta > 0$ bestaat zodat voor alle $ x $ geldt: als $ |x - x_0| < \delta $, dan $ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon $". Beide definities beschrijven precies hetzelfde verschijnsel, maar vanuit een ander perspectief.

Continuïteit kan ook via gesloten verzamelingen worden beschreven:

Een functie is continu als het inverse beeld van elke gesloten verzameling gesloten is.

Voor een functie $ f : X \to Y $ tussen topologische ruimten geldt dus: $ f $ is continu dan en slechts dan als voor elke gesloten verzameling $ C \subset Y $ de verzameling $ f^{-1}(C) $ gesloten is in $ X $.

Open en gesloten verzamelingen zijn nauw met elkaar verbonden. Daarom leveren beide formuleringen dezelfde informatie over continuïteit.

Een concreet voorbeeld
Bewijs van de equivalentie

Een concreet voorbeeld

Neem de functie $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ met $ f(x) = x^2 $.

We controleren de continuïteit met behulp van open verzamelingen.

Kies een open verzameling, bijvoorbeeld $ U = (1, 4) $.

voorbeeld van een open interval

We bepalen eerst het inverse beeld:

$$ 1 < x^2 < 4 $$

Dit herschrijven we als:

$$ 1 < |x| < 2 $$

Daaruit volgt:

$ x \in (-2, -1) \cup (1, 2) $

Dit is een open verzameling. Dat is precies wat de definitie vereist.

Kies nu een concreet punt, bijvoorbeeld $ x = 1{,}5 $.

Dan is:

$ f(1{,}5) = 2{,}25 \in (1, 4) $

controle van een specifiek punt

We zoeken een kleine omgeving rond $ x $, bijvoorbeeld:

$ V = (1{,}4, 1{,}6) $

kleine omgeving rond een punt

We berekenen de beelden van de randen:

$$ f(1{,}4) = 1{,}96 \quad \text{en} \quad f(1{,}6) = 2{,}56 $$

Dus:

$ f(V) = (1{,}96, 2{,}56) \subset (1, 4) $

De hele omgeving blijft binnen $ U $. Dat is precies het idee van continuïteit.

Omdat dit voor elk punt werkt, is $ f(x) = x^2 $ continu op heel $ \mathbb{R} $.

Opmerking: Continuïteit moet in elk punt van het domein gelden. Het is geen lokale eigenschap van één punt, maar een globale eigenschap van de functie op haar hele domein.

Bewijs van de equivalentie

We tonen dat de twee formuleringen van continuïteit equivalent zijn.

A] Van open verzamelingen naar omgevingen

Stel dat $ f $ continu is, dus dat voor elke open verzameling $ U $ het inverse beeld $ f^{-1}(U) $ open is.

Neem een punt $ x $ met $ f(x) \in U $.

Dan ligt $ x $ in $ V = f^{-1}(U) $, en deze verzameling is open.

Dus er bestaat een omgeving van $ x $ die volledig binnen $ V $ ligt, en dus geldt $ f(V) \subset U $.

B] Van omgevingen naar open verzamelingen

Stel nu dat voor elk punt $ x $ en elke open verzameling $ U $ met $ f(x) \in U $, er een omgeving $ V $ bestaat met $ f(V) \subset U $.

Neem een open verzameling $ W \subset Y $.

Voor elk punt $ x \in f^{-1}(W) $ bestaat er een omgeving $ V_x $ met $ V_x \subset f^{-1}(W) $.

Dus elk punt van $ f^{-1}(W) $ heeft een open omgeving binnen die verzameling.

Daaruit volgt dat $ f^{-1}(W) $ open is.

Conclusie

De twee definities van continuïteit zijn volledig equivalent. Je kunt continuïteit dus beschrijven via open verzamelingen of via omgevingen, afhankelijk van wat het meest geschikt is in de context.

En zo verder.