Karakterisering van continuïteit via gesloten verzamelingen

Zij $ X $ en $ Y $ twee topologische ruimten. Een afbeelding $ f : X \to Y $ is continu dan en slechts dan als voor elke gesloten deelverzameling $ C \subseteq Y $ het inverse beeld $ f^{-1}(C) $ een gesloten deelverzameling is van $ X $.

Deze stelling geeft een alternatieve, maar volledig equivalente manier om continuïteit te begrijpen. In plaats van te werken met open verzamelingen, formuleren we de definitie hier in termen van gesloten verzamelingen.

In de gebruikelijke definitie van continuïteit eist men dat het inverse beeld van elke open deelverzameling van $ Y $ open is in $ X $.

De stelling laat zien dat dit equivalent is aan de volgende formulering: een afbeelding $ f : X \to Y $ is continu als voor elke gesloten deelverzameling $ C \subseteq Y $ het inverse beeld $ f^{-1}(C) $ gesloten is in $ X $.

Opmerking : Deze eigenschap weerspiegelt de nauwe samenhang tussen open en gesloten verzamelingen. Elke gesloten verzameling is het complement van een open verzameling, en omgekeerd. Daardoor zijn beide formuleringen van continuïteit in wezen hetzelfde.

Een concreet voorbeeld
Bewijs

Een concreet voorbeeld

Beschouw de functie $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, gegeven door $ f(x) = x^2 $, met de gebruikelijke topologie op $ \mathbb{R} $. In deze topologie zijn open verzamelingen open intervallen en unies daarvan.

$$ f(x) = x^2 $$

We controleren dat het inverse beeld van een gesloten verzameling opnieuw gesloten is.

Neem als voorbeeld de gesloten deelverzameling $ C = [1, +\infty) \subseteq Y $. Deze verzameling is gesloten omdat zij haar ondergrens bevat.

Het inverse beeld van $ C $ onder $ f $ is:

$$ f^{-1}(C) = \{ x \in \mathbb{R} : x^2 \in [1, +\infty) \} = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $$

Dit is een gesloten deelverzameling van $ \mathbb{R} $, omdat de vereniging van gesloten verzamelingen opnieuw gesloten is.

Omdat het inverse beeld van deze gesloten verzameling weer gesloten is, voldoet de functie aan de voorwaarde. Door hetzelfde argument toe te passen op alle gesloten verzamelingen, volgt dat $ f(x) = x^2 $ continu is.

Bewijs

Het bewijs bestaat uit twee stappen. We tonen eerst aan dat continuïteit deze eigenschap impliceert. Daarna bewijzen we ook de omgekeerde richting.

1] (⇒) Als $ f $ continu is, dan is het inverse beeld van elke gesloten verzameling gesloten:

Volgens de definitie van continuïteit is het inverse beeld van elke open deelverzameling van $ Y $ open in $ X $.

Neem een gesloten deelverzameling $ C \subseteq Y $. Het complement $ Y \setminus C $ is dan open in $ Y $.

Omdat $ f $ continu is, is $ f^{-1}(Y \setminus C) $ open in $ X $.

Verder geldt:

$ f^{-1}(Y \setminus C) = X \setminus f^{-1}(C) $

Dus als $ X \setminus f^{-1}(C) $ open is, dan is $ f^{-1}(C) $ gesloten in $ X $.

Hieruit volgt dat het inverse beeld van elke gesloten verzameling gesloten is.

2] (⇐) Als het inverse beeld van elke gesloten verzameling gesloten is, dan is $ f $ continu:

Veronderstel dat voor elke gesloten deelverzameling $ C \subseteq Y $ het inverse beeld $ f^{-1}(C) $ gesloten is in $ X $.

Neem een open deelverzameling $ U \subseteq Y $. Het complement $ Y \setminus U $ is dan gesloten.

Volgens de aanname is $ f^{-1}(Y \setminus U) $ gesloten in $ X $.

Maar:

$ f^{-1}(Y \setminus U) = X \setminus f^{-1}(U) $

Daaruit volgt dat $ f^{-1}(U) $ open is in $ X $.

Dus voldoet $ f $ aan de definitie van continuïteit.

3] Conclusie

We hebben beide richtingen bewezen. Daarom geldt: een afbeelding $ f : X \to Y $ is continu dan en slechts dan als het inverse beeld van elke gesloten deelverzameling van $ Y $ een gesloten deelverzameling is van $ X $.

Dit voltooit het bewijs.