Equivalência entre um Conjunto Aberto e o seu Interior
Em um espaço topológico \( X \), um conjunto \( A \) é aberto se, e somente se, ele coincide com o seu interior: $$ A = \text{Int}(A) $$
Em termos simples, isso significa que \( A \) é aberto quando cada um de seus pontos possui uma vizinhança aberta totalmente contida dentro de \( A \).
Portanto, a condição \( A = \text{Int}(A) \) expressa precisamente o que caracteriza um conjunto aberto: ele contém todos os abertos que estão incluídos nele.
O interior de um conjunto, \( \text{Int}(A) \), é o maior conjunto aberto contido em \( A \), obtido como a união de todos os abertos que fazem parte de \( A \).
Exemplo Ilustrativo
Para entender melhor essa relação, consideremos o espaço topológico \( \mathbb{R} \), dotado da topologia usual, onde todo intervalo aberto é um conjunto aberto.
Vamos observar dois exemplos simples e ver como a igualdade \( A = \text{Int}(A) \) permite identificar se um conjunto é aberto ou não.
Exemplo 1
Seja o intervalo aberto \( A = (0, 1) \).
$$ A = (0, 1) $$
O seu interior coincide exatamente com ele próprio:
$$ \text{Int}(A) = (0,1) $$
Como \( A \) é igual ao seu interior, concluímos que \( A \) é um conjunto aberto.
Exemplo 2
Agora, consideremos o intervalo fechado \( B = [0,1] \).
$$ B = [0, 1] $$
O interior de \( B \) é o intervalo aberto \( (0,1) \), pois os extremos não pertencem a nenhum aberto contido em \( B \).
$$ \text{Int}(B) = (0,1) $$
Nesse caso, \( B \ne \text{Int}(B) \), logo \( B \) não é um conjunto aberto.
Observação: A noção de interior fornece um critério simples e poderoso para determinar se um conjunto é aberto. Basta verificar se ele coincide com o seu interior.
Demonstração
Vamos agora justificar formalmente o resultado: para qualquer conjunto \( A \subseteq X \), temos que \( A \) é aberto se, e somente se, \( A = \text{Int}(A) \).
A demonstração é dividida em duas partes, correspondendo às duas direções da equivalência.
1] Se \( A \) é aberto, então \( \text{Int}(A) = A \)
Suponha que \( A \) seja aberto. Por definição, cada ponto \( x \in A \) possui uma vizinhança aberta \( U \subseteq A \).
Isso significa que todos os pontos de \( A \) pertencem ao interior de \( A \), portanto:
$$ A \subseteq \text{Int}(A) $$
Mas, por construção, o interior está sempre contido em \( A \):
$$ \text{Int}(A) \subseteq A $$
Das duas inclusões obtemos a igualdade:
$$ A = \text{Int}(A) $$
2] Se \( A = \text{Int}(A) \), então \( A \) é aberto
Agora, suponha que \( A \) coincida com o seu interior. Seja \( x \in A \). Como \( x \in \text{Int}(A) \), existe um aberto \( U \subseteq A \) tal que \( x \in U \).
Assim, cada ponto de \( A \) possui uma vizinhança aberta inteiramente contida em \( A \), o que prova que \( A \) é aberto.
3] Conclusão
Chegamos, portanto, à equivalência fundamental: um conjunto \( A \subseteq X \) é aberto se, e somente se, é igual ao seu interior, isto é, $$ A = \text{Int}(A) $$
Esse resultado fornece um dos critérios mais diretos e úteis para identificar conjuntos abertos em qualquer espaço topológico.
