Inclusão de Conjuntos Abertos no Interior de um Conjunto

Quando um conjunto $ U $ é aberto em um espaço topológico $ X $ e está contido em outro conjunto $ A $, dizemos que $ U $ também está contido no interior de $ A $: $$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

O interior de $ A $, indicado por $\text{Int}(A)$, é o maior conjunto aberto que cabe dentro de $ A $. Em outras palavras, é formado por todos os pontos de $ A $ que possuem uma vizinhança completamente contida em $ A $.

Por isso, qualquer conjunto aberto $ U $ incluído em $ A $ estará, obrigatoriamente, dentro de $\text{Int}(A)$, já que este reúne todos os abertos que se encaixam em $ A $.

$$ \text{Int}(A) = \bigcup \{ O \subseteq A \mid O \text{ é aberto em } X \} $$

Como $ U $ faz parte dessa família de abertos, ele satisfaz as condições para estar incluído na união que define o interior de $ A $.

Exemplo Concreto
Demonstração

Exemplo Concreto

Para visualizar essa ideia, vejamos um exemplo simples no espaço topológico $ \mathbb{R} $ com a topologia usual, onde os conjuntos abertos são os intervalos abertos e suas uniões.

$$ U = (1, 2) $$

$$ A = [0, 3] $$

O conjunto $ U = (1, 2) $ é aberto porque é um intervalo aberto em $\mathbb{R}$, logo pertence à topologia padrão.

Como cada ponto de $ U $ também pertence a $ A $, temos $ U \subseteq A $.

O interior de $ A = [0, 3] $, denotado por $\text{Int}(A)$, é o maior conjunto aberto contido em $ A $, isto é, o intervalo $(0, 3)$.

$$ \text{Int}(A) = (0,3) $$

Fica claro, então, que $ U = (1, 2) $ está dentro de $(0, 3)$, ou seja:

$$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

Esse exemplo mostra de forma intuitiva que todo conjunto aberto incluído em $ A $ está necessariamente contido em seu interior.

Demonstração

Seja $ X $ um espaço topológico, $ A \subseteq X $, e $ U $ um conjunto aberto de $ X $ tal que $ U \subseteq A $.

As condições são:

$ U $ é um conjunto aberto em $ X $;
$ U \subseteq A $.

Pela definição, o interior de $ A $ é a união de todos os conjuntos abertos contidos em $ A $.

Como $ U $ satisfaz essas duas condições, ele faz parte dessa família de abertos cuja união forma $\text{Int}(A)$.

Portanto, concluímos que $ U \subseteq \text{Int}(A) $.

Em termos simples, qualquer conjunto aberto que caiba dentro de $ A $ também cabe dentro de seu interior. Essa é uma das propriedades fundamentais do conceito de interior em topologia.