Aderența unui subansamblu al unei mulțimi închise

Într-un spațiu topologic $ X $, dacă $ C $ este o mulțime închisă și $ A $ este un subansamblu al acesteia, adică $ A \subseteq C $, atunci aderența lui $ A $, notată $ \operatorname{Cl}(A) $, este la rândul ei inclusă în $ C $ : $$ A \subseteq C \ , \ C \text{ închisă } \ \Rightarrow \ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Această proprietate exprimă un fapt intuitiv și important în topologie. Aderența unei mulțimi nu adaugă puncte „în mod arbitrar", ci doar pe cele care sunt impuse de structura topologică a spațiului.

Prin definiție, aderența unei mulțimi $ A $ este cel mai mic ansamblu închis care o conține. Prin urmare, dacă $ A $ este deja inclusă într-o mulțime închisă $ C $, atunci aderența sa nu are cum să depășească limitele lui $ C $. În mod inevitabil, $ \operatorname{Cl}(A) $ rămâne inclusă în $ C $.

Un exemplu concret
Demonstrație

Un exemplu concret

Pentru a vedea clar cum funcționează această proprietate, să lucrăm într-un context familiar. Considerăm spațiul topologic $ X = \mathbb{R} $, dreapta reală înzestrată cu topologia uzuală.

În acest cadru, mulțimile deschise sunt intervalele deschise, iar mulțimile închise sunt, de exemplu, intervalele închise.

Fie mulțimea

$$ C = [0,2] $$

Aceasta este o mulțime închisă în $ \mathbb{R} $.

Considerăm acum un subansamblu propriu al lui $ C $, de pildă intervalul deschis

$$ A = (0,1) $$

Să determinăm aderența mulțimii $ A $.

Aderența lui $ A $, notată $ \operatorname{Cl}(A) $, este cel mai mic ansamblu închis din $ \mathbb{R} $ care conține toate punctele lui $ A $. În acest caz, trebuie să adăugăm la intervalul deschis $ (0,1) $ și punctele-limită 0 și 1.

Rezultă astfel

$$ \operatorname{Cl}(A) = [0,1] $$

Observăm acum relația de incluziune inițială:

$$ A = (0,1) \subseteq C = [0,2] $$

Aplicând proprietatea discutată, obținem imediat

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Într-adevăr, deoarece

$$ [0,1] \subseteq [0,2] = C $$

aderența lui $ A $ este complet conținută în $ C $.

Acest exemplu arată clar că, atunci când o mulțime este inclusă într-un ansamblu închis, aderența sa nu poate „ieși" din acesta.

Demonstrație

Fie $ A \subseteq C \subseteq X $, unde $ C $ este o mulțime închisă într-un spațiu topologic $ X $.

Prin definiție, complementul lui $ C $, adică $ X \setminus C $, este o mulțime deschisă.

Aderența lui $ A $, notată $ \operatorname{Cl}(A) $, este definită ca fiind cel mai mic ansamblu închis care conține mulțimea $ A $. Echivalent, ea se poate scrie ca intersecția tuturor mulțimilor închise din $ X $ care conțin pe $ A $.

Deoarece $ C $ este o mulțime închisă ce conține $ A $, ea face parte din familia mulțimilor închise luate în considerare în această intersecție.

Prin urmare, aderența $ \operatorname{Cl}(A) $, fiind inclusă în intersecția tuturor acestor mulțimi închise, este în mod necesar inclusă și în $ C $ :

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Concluzia este firească: dacă o mulțime $ C $ este închisă și îl conține pe $ A $, atunci aderența lui $ A $ nu poate fi decât inclusă integral în $ C $.

Aceasta încheie demonstrația.