Cum determinăm interiorul unei mulțimi din R

În topologie, noțiunea de interior al unei mulțimi joacă un rol central. Pentru a înțelege mai bine acest concept, putem apela la un exemplu simplu și la un mic script scris în limbajul R, care ne ajută să vizualizăm ideea într-un mod intuitiv.

Să începem prin a defini două intervale deschise, notate cu $ A $ și $ B $.

A <- c(1, 3)
B <- c(0, 4)

Acești vectori reprezintă intervalele deschise $ (1, 3) $ și $ (0, 4) $ din mulțimea numerelor reale.

Cu alte cuvinte, intervalul $ A $ corespunde mulțimii $ (1,3) $.

> cat("Intervalul A :", A, "\n")

Intervalul A : 1 3

În mod similar, intervalul $ B $ corespunde mulțimii $ (0,4) $.

> cat("Intervalul B :", B, "\n")

Intervalul B : 0 4

Pentru a aproxima interiorul acestor mulțimi, definim o funcție simplă care elimină o mică porțiune de la fiecare capăt al intervalului.

Din punct de vedere topologic, interiorul unei mulțimi este reuniunea tuturor mulțimilor deschise conținute în ea.

internal <- function(interval) {
c(interval[1] + 0.00001, interval[2] - 0.00001)
}

Cu ajutorul acestei funcții putem calcula o aproximație numerică a interiorului mulțimilor $ A $ și $ B $.

Int_A <- internal(A)

Int_B <- internal(B)

Să analizăm acum rezultatele obținute.

Interiorul mulțimii $ A = (1,3) $ este dat de reuniunea tuturor submulțimilor deschise pe care le conține, ceea ce se exprimă prin relația: $\text{Int}(A) = (1,3)$.

> cat("Interiorul lui A :", Int_A, "\n")

Interiorul lui A : 1.00001 2.99999

În mod analog, interiorul mulțimii $ B = (0,4) $ este:

$\text{Int}(B) = (0,4)$.

> cat("Interiorul lui B :", Int_B, "\n")

Interiorul lui B : 1e-05 3.99999

O proprietate fundamentală a topologiei afirmă că, dacă $ A \subseteq B $, atunci:

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Această proprietate poate fi verificată direct cu ajutorul următorului fragment de cod:

cat("Int(A) este inclus în Int(B) :", all(Int_A >= Int_B[1] & Int_A <= Int_B[2]), "\n")

Int(A) este inclus în Int(B) : TRUE

Rezultatul confirmă faptul că interiorul mulțimii $ A $ este, într-adevăr, inclus în interiorul mulțimii $ B $.

Acest exemplu arată cum noțiuni fundamentale de topologie pot fi explorate într-un mod clar, coerent și accesibil, folosind instrumente simple din limbajul R.