Echivalența dintre o mulțime deschisă și interiorul său
O mulțime \( A \) dintr-un spațiu topologic \( X \) este deschisă dacă și numai dacă coincide cu interiorul său: $$ A = \text{Int}(A) $$
În termeni intuitivi, o mulțime este deschisă atunci când, pentru fiecare punct al său, există o vecinătate deschisă care rămâne complet în interiorul mulțimii.
Această proprietate este surprinsă în mod concis de relația \( A = \text{Int}(A) \), care oferă un criteriu simplu și eficient pentru recunoașterea mulțimilor deschise.
Interiorul unei mulțimi, notat \( \text{Int}(A) \), reprezintă cel mai mare deschis inclus în \( A \). El se obține ca reuniunea tuturor mulțimilor deschise conținute în \( A \).
Exemplu ilustrativ
Să considerăm spațiul topologic \( \mathbb{R} \), dotat cu topologia uzuală. În acest context, orice interval deschis este, prin definiție, o mulțime deschisă.
Vom analiza două exemple simple pentru a vedea cum funcționează în practică caracterizarea \( A = \text{Int}(A) \).
Exemplul 1
Fie intervalul deschis \( A = (0, 1) \).
$$ A = (0, 1) $$
Interiorul acestui interval coincide cu mulțimea însăși:
$$ \text{Int}(A) = (0,1) $$
Deoarece \( A \) este egal cu interiorul său, concluzionăm că \( A \) este o mulțime deschisă.
Exemplul 2
Să considerăm acum intervalul închis \( B = [0,1] \).
$$ B = [0, 1] $$
Interiorul lui \( B \) este intervalul deschis \( (0,1) \), care nu include punctele de frontieră.
$$ \text{Int}(B) = (0,1) $$
În acest caz, \( B \ne \text{Int}(B) \), ceea ce arată că \( B \) nu este o mulțime deschisă.
Observație : Exemplele de mai sus evidențiază rolul central al noțiunii de interior în caracterizarea mulțimilor deschise.
Demonstrație
Vom arăta că, pentru orice mulțime \( A \subseteq X \), aceasta este deschisă dacă și numai dacă este egală cu interiorul său.
Demonstrația se bazează pe cele două implicații următoare.
1] Dacă \( A \) este deschisă, atunci \( \text{Int}(A) = A \)
Să presupunem că \( A \) este o mulțime deschisă. Prin definiție, pentru fiecare punct \( x \in A \) există o vecinătate deschisă \( U \) astfel încât \( x \in U \subseteq A \).
Rezultă că orice punct al lui \( A \) aparține interiorului său, deci:
$$ A \subseteq \text{Int}(A) $$
Pe de altă parte, interiorul unei mulțimi este întotdeauna inclus în mulțimea respectivă, ceea ce implică:
$$ \text{Int}(A) \subseteq A $$
Din cele două incluziuni obținem egalitatea:
$$ A = \text{Int}(A) $$
2] Dacă \( A = \text{Int}(A) \), atunci \( A \) este deschisă
Să presupunem acum că \( A = \text{Int}(A) \).
Fie \( x \in A \). Atunci \( x \in \text{Int}(A) \), iar prin definiția interiorului există o mulțime deschisă \( U \subseteq A \) care conține punctul \( x \).
Prin urmare, fiecare punct al lui \( A \) are o vecinătate deschisă inclusă în \( A \), ceea ce înseamnă că \( A \) este deschisă.
3] Concluzie
Am obținut astfel o caracterizare fundamentală: o mulțime \( A \subseteq X \) este deschisă dacă și numai dacă este egală cu interiorul său, adică: $$ A = \text{Int}(A) $$
Această echivalență oferă un criteriu clar și practic pentru identificarea mulțimilor deschise și joacă un rol esențial în studiul spațiilor topologice.
