Frontiera unei mulțimi A este inclusă în A dacă și numai dacă A este închisă

Frontiera \( \partial A \) a unei mulțimi \( A \) este inclusă în \( A \) dacă și numai dacă \( A \) este o mulțime închisă: \[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ este închisă} \]

Exemplu concret

Exemplul 1

Considerăm mulțimea \( A \), definită ca discul închis de rază 1, cu centrul în origine, în planul euclidian \(\mathbb{R}^2\).

$$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1 $$

Frontiera acestei mulțimi este cercul de rază 1, adică mulțimea punctelor situate exact la distanța 1 de origine:

$$ \partial A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 $$

Observăm că toate punctele frontierei aparțin deja mulțimii \( A \). Prin urmare:

$$ \partial A \subseteq A $$

Acest lucru confirmă faptul că \( A \) este o mulțime închisă.

Exemplul 2

Să considerăm acum mulțimea \( B \), discul deschis de rază 1, cu același centru în origine:

$$ B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1 $$

Și în acest caz, frontiera este cercul de rază 1:

$$ \partial B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 $$

Diferența esențială este că punctele de pe frontieră nu sunt incluse în \( B \). De aceea:

$$ \partial B \nsubseteq B $$

Rezultă că \( B \) nu este o mulțime închisă.

Aceste exemple arată în mod intuitiv că o mulțime închisă conține întotdeauna frontiera sa, în timp ce o mulțime deschisă nu conține niciun punct al frontierei.

Demonstrație

Demonstrația se bazează pe două implicații reciproce, care împreună stabilesc echivalența dorită.

1] Dacă frontiera lui \( A \) este inclusă în \( A \), atunci \( A \) este închisă

Presupunem că \( \partial A \subseteq A \), adică orice punct de pe frontiera lui \( A \) aparține și lui \( A \).

Reamintim definiția frontierei:

\( \partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c} \),

unde \( \overline{A} \) este închiderea lui \( A \), iar \( \overline{A^c} \) este închiderea complementarei lui \( A \).

Punctele de frontieră sunt, prin definiție, puncte-limită atât pentru \( A \), cât și pentru complementara sa. Dacă toate aceste puncte se află în \( A \), atunci \( A \) conține toate punctele sale de acumulare.

Prin definiție, o mulțime care conține toate punctele sale de acumulare este o mulțime închisă. Prin urmare, \( A \) este închisă.

2] Dacă \( A \) este închisă, atunci \( \partial A \subseteq A \)

Să presupunem acum că \( A \) este o mulțime închisă. În acest caz, \( A \) coincide cu închiderea sa:

\( A = \text{Cl}(A) \).

Frontiera se poate scrie astfel:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$

Înlocuind \( \text{Cl}(A) \) cu \( A \), obținem:

$$ \partial A = A \cap \text{Cl}(A^c) $$

Aceasta înseamnă că fiecare punct de frontieră aparține lui \( A \) și este, în același timp, punct-limită pentru complementara lui \( A \). Prin urmare, frontiera este inclusă în \( A \).

3] Concluzie

Am demonstrat că frontiera unei mulțimi \( A \) este inclusă în \( A \) dacă și numai dacă \( A \) este o mulțime închisă.

Rezultatul oferă un criteriu clar și util pentru a recunoaște mulțimile închise în topologie.