Închiderea complementului unei mulțimi și complementul interiorului acesteia
Închiderea complementului unei mulțimi \( A \) coincide cu complementul interiorului lui \( A \): $$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Această relație evidențiază o legătură profundă între două concepte fundamentale ale topologiei, închiderea și interiorul, atunci când sunt privite prin prisma complementelor de mulțimi.
Un exemplu intuitiv
Luăm în considerare spațiul topologic \( X = \mathbb{R} \), dotat cu topologia uzuală. În acest cadru, mulțimile deschise sunt reuniuni de intervale deschise, iar noțiunile de interior și închidere au o interpretare geometrică naturală.
Considerăm mulțimea \( A \subseteq X = \mathbb{R} \), definită prin intervalul închis \( A = [1,2] \).
Pentru a verifica relația de mai sus, vom calcula separat cele două expresii implicate și vom compara rezultatele.
1] Închiderea complementului lui \( A \)
Complementul lui \( A \) în \( \mathbb{R} \) este dat de: $$ X - A = \mathbb{R} - [1,2] = (-\infty, 1) \cup (2, \infty) $$
Această mulțime este deschisă și constă din două intervale disjuncte. Pentru a-i determina închiderea, trebuie să includem și punctele de acumulare ale acesteia.
Observăm că punctele \( 1 \) și \( 2 \) sunt puncte de acumulare. Orice vecinătate a lui \( 1 \) intersectează intervalul \( (-\infty,1) \), iar orice vecinătate a lui \( 2 \) intersectează intervalul \( (2,\infty) \).
Rezultă astfel:
$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
2] Complementul interiorului lui \( A \)
Interiorul mulțimii \( A = [1,2] \) este cea mai mare mulțime deschisă conținută în \( A \), adică intervalul: $$ \text{Int}(A) = (1,2) $$
Complementul acestui interior în \( \mathbb{R} \) este:
$$ X - \text{Int}(A) = \mathbb{R} - (1,2) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
3] Concluzie
În ambele cazuri obținem aceeași mulțime:
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
Acest exemplu ilustrează clar validitatea relației enunțate.
Demonstrație generală
Fie \( A \subseteq X \) o mulțime într-un spațiu topologic \( X \).
Prin definiție, închiderea complementului lui \( A \) cuprinde toate punctele din \( X - A \), împreună cu punctele de acumulare ale acestei mulțimi:
$$ \text{Cl}(X - A) $$
Pe de altă parte, complementul interiorului lui \( A \) este format din toate punctele care nu aparțin interiorului lui \( A \):
$$ X - \text{Int}(A) $$
Pentru a demonstra egalitatea \(\text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A)\), este suficient să verificăm cele două incluziuni.
- \( \text{Cl}(X - A) \subseteq X - \text{Int}(A) \)
Dacă un punct \( x \) aparține lui \( \text{Cl}(X - A) \), atunci orice vecinătate a lui \( x \) conține puncte din \( X - A \). Prin urmare, \( x \) nu poate fi un punct interior al lui \( A \). Rezultă că \( x \notin \text{Int}(A) \), deci \( x \in X - \text{Int}(A) \). - \( X - \text{Int}(A) \subseteq \text{Cl}(X - A) \)
Dacă \( x \notin \text{Int}(A) \), atunci nici o vecinătate a lui \( x \) nu este conținută integral în \( A \). Aceasta implică faptul că orice vecinătate a lui \( x \) intersectează complementul lui \( A \), deci \( x \in \text{Cl}(X - A) \).
Întrucât am demonstrat ambele incluziuni, rezultă că:
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Relația subliniază în mod elegant dualitatea dintre închidere și interior, un principiu central în topologia generală.
