Închiderea unei mulțimi: reuniunea mulțimii cu punctele sale de acumulare
Într-un spațiu topologic \( X \), închiderea unei mulțimi \( A \), notată \(\text{Cl}(A)\), se obține prin reuniunea dintre mulțimea \( A \) și mulțimea \( A' \) a punctelor sale de acumulare : $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Această formulare oferă o descriere clară și intuitivă a noțiunii de închidere pentru un subansamblu \( A \) al unui spațiu topologic \((X, \tau)\).
În esență, închiderea adună toate punctele „legate" de mulțimea \( A \): atât punctele care aparțin lui \( A \), cât și acele puncte care pot fi atinse oricât de aproape prin elemente din \( A \).
Un aspect important este faptul că punctele de acumulare nu trebuie să fie, în mod obligatoriu, elemente ale mulțimii \( A \).
Din această caracterizare rezultă imediat că o mulțime \( A \) este închisă dacă și numai dacă ea conține toate punctele sale de acumulare: $$ A \text{ este închisă } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ Cu alte cuvinte, o mulțime este închisă atunci când coincide cu propria sa închidere.
Exemplu concret
Să luăm intervalul deschis \( A = (0, 1) \) din \( \mathbb{R} \), considerat cu topologia uzuală.
$$ A = (0,1) $$
Acest interval conține toate numerele reale strict cuprinse între 0 și 1, fără a include capetele.
Să analizăm punctele de acumulare ale lui \( A \):
- Orice punct \( x \in (0,1) \) este punct de acumulare, deoarece orice vecinătate a lui \( x \) conține și alte puncte din \( A \).
- Punctul \( 0 \) este punct de acumulare, fiindcă orice vecinătate deschisă a lui \( 0 \), de tipul \( (0, \varepsilon) \), intersectează mulțimea \( A \).
- În mod similar, punctul \( 1 \) este punct de acumulare, deoarece orice vecinătate a sa, cum ar fi \( (1-\varepsilon, 1) \), conține puncte din \( A \).
Prin urmare, mulțimea punctelor de acumulare este:
$$ A' = [0,1] $$
Închiderea lui \( A \) este atunci:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
Deoarece \( A \) nu include punctele \( 0 \) și \( 1 \), avem: $$ A \ne \text{Cl}(A) $$ Așadar, \( A \) nu este o mulțime închisă în topologia uzuală a lui \( \mathbb{R} \).
Al doilea exemplu
Să considerăm acum mulțimea \( B = [0, 1] \), un interval închis din \( \mathbb{R} \), cu topologia uzuală.
$$ B = [0,1] $$
Fie \( x \in B \). Observăm că:
- Dacă \( x \in (0,1) \), orice vecinătate a lui \( x \) conține alte puncte din \( B \), deci \( x \) este punct de acumulare.
- Dacă \( x = 0 \) sau \( x = 1 \), orice vecinătate a acestor puncte conține, de asemenea, elemente diferite de \( x \) din \( B \), ceea ce înseamnă că și acestea sunt puncte de acumulare.
În consecință, mulțimea punctelor de acumulare este:
$$ B' = [0,1] $$
Rezultă astfel:
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0,1] $$
Deoarece \( B = \text{Cl}(B) \), concluzionăm că \( B \) este o mulțime închisă în \( \mathbb{R} \).
Demonstrația teoremei
Arătăm acum că pentru orice mulțime \( A \subseteq X \) este valabilă relația: $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Reamintim definițiile de bază:
- Închidere : \( \text{Cl}(A) \) este intersecția tuturor mulțimilor închise care conțin pe \( A \).
- Punct de acumulare : un punct \( x \in X \) aparține lui \( A' \) dacă orice vecinătate deschisă a lui \( x \) conține un punct din \( A \) diferit de \( x \).
1] Incluziunea: \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
Deoarece \( A \subseteq \text{Cl}(A) \) prin definiție, este suficient să demonstrăm că \( A' \subseteq \text{Cl}(A) \).
Fie \( x \in A' \). Dacă \( x \notin \text{Cl}(A) \), ar exista un deschis \( U \ni x \) cu proprietatea \( U \cap A = \emptyset \), ceea ce contrazice definiția punctului de acumulare. Prin urmare, \( x \in \text{Cl}(A) \), deci:
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] Incluziunea: \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
Fie \( x \in \text{Cl}(A) \). Dacă \( x \in A \), afirmația este imediată. Dacă \( x \notin A \), faptul că \( x \in \text{Cl}(A) \) implică că orice deschis \( U \ni x \) intersectează mulțimea \( A \), deci \( x \) este punct de acumulare. Rezultă astfel: $$ x \in A \cup A' $$
Concluzie
Stabilind ambele incluziuni, obținem relația finală: $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Această proprietate oferă o perspectivă clară și utilă asupra modului în care este construită închiderea unei mulțimi în orice spațiu topologic.
