Includerea unei mulțimi deschise în interiorul unei mulțimi

Dacă $ U $ este o mulțime deschisă într-un spațiu topologic $ X $ și $ U \subseteq A $, atunci $ U $ este inclusă în interiorul mulțimii $ A $ : $$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

Interiorul unei mulțimi $ A $, notat $\text{Int}(A)$, este cea mai mare mulțime deschisă care se află în întregime în interiorul lui $ A $.

Din acest motiv, orice mulțime deschisă $ U $ inclusă în $ A $ se regăsește automat în interiorul lui $ A $. Interiorul poate fi privit ca totalitatea tuturor mulțimilor deschise conținute în $ A $.

$$ \text{Int}(A) = \bigcup \{ O \subseteq A \mid O \text{ este deschisă în } X \} $$

În mod natural, mulțimea $ U $ face parte din această colecție, deoarece este deschisă în $ X $ și este inclusă în $ A $. Prin urmare, ea contribuie la formarea interiorului.

Un exemplu concret
Demonstrație

Un exemplu concret

Pentru a ilustra această proprietate, să lucrăm în spațiul topologic $ \mathbb{R} $, dotat cu topologia sa uzuală, unde mulțimile deschise sunt intervalele deschise și reuniunile lor arbitrare.

$$ U = (1, 2) $$

$$ A = [0, 3] $$

Mulțimea $ U = (1, 2) $ este deschisă, deoarece este un interval deschis din $\mathbb{R}$.

Observăm, de asemenea, că $ U \subseteq A $, întrucât fiecare punct al lui $ U $ aparține intervalului $ [0, 3] $.

Interiorul mulțimii $ A = [0, 3] $, notat $\text{Int}(A)$, este intervalul deschis maxim inclus în $ A $, și anume $(0, 3)$.

$$ \text{Int}(A) = (0, 3) $$

Este imediat vizibil că $ U = (1, 2) $ este inclus în $(0, 3)$, adică :

$$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

Acest exemplu confirmă faptul că orice mulțime deschisă inclusă într-o mulțime $ A $ se află în interiorul acesteia.

Demonstrație

Fie $ X $ un spațiu topologic, $ A \subseteq X $ o submulțime și $ U $ o mulțime deschisă din $ X $ astfel încât $ U \subseteq A $.

Ipotezele de la care pornim sunt :

$ U $ este o mulțime deschisă în $ X $ ;
$ U \subseteq A $.

Conform definiției, interiorul lui $ A $ este reuniunea tuturor mulțimilor deschise incluse în $ A $.

Deoarece $ U $ îndeplinește ambele ipoteze, ea aparține acestei familii de mulțimi deschise.

Rezultă direct că $ U \subseteq \text{Int}(A) $.

Cu alte cuvinte, orice mulțime deschisă conținută într-o mulțime $ A $ este inclusă în interiorul acesteia.

Proprietatea este astfel demonstrată.