Interiorul Intersecției a Două Mulțimi
Pentru două mulțimi \(A\) și \(B\), intersecția interioarelor lor este egală cu interiorul intersecției: $$ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cap B) $$
Această proprietate oferă una dintre cele mai elegante idei din topologie: pentru două mulțimi, interiorul porțiunii lor comune se obține intersectând direct interioarele fiecăreia. Nimic mai mult, nimic mai puțin.
Imaginea intuitivă este simplă. Dacă analizăm punctele aflate în interiorul lui \(A\) și pe cele din interiorul lui \(B\), atunci punctele care aparțin ambelor mulțimi formează exact interiorul intersecției lor.
Pentru a fixa noțiunea, reamintim două concepte esențiale:
- Interiorul unei mulțimi (\(\text{Int}(A)\)): totalitatea punctelor din \(A\) care dispun de un mediu deschis complet inclus în această mulțime. Aceste puncte nu se află pe frontieră.
- Intersecția (\(\cap\)): mulțimea elementelor comune lui \(A\) și \(B\).
Cu aceste idei în minte, relația de mai sus devine mult mai ușor de interpretat.
Un Exemplu Intuitiv
Să ne imaginăm două discuri care se suprapun parțial.
Fiecare disc își are propriul interior, separat de frontieră. Dacă ne uităm la zona unde cele două discuri se suprapun, observăm imediat că interiorul acestei regiuni coincide cu intersecția interioarelor lor.
Acest exemplu vizual ajută la înțelegerea ideii înainte de a trece la demonstrația formală.
Demonstrația
Pentru a stabili egalitatea, demonstrăm pe rând cele două incluziuni.
1] Prima incluziune (\(\subseteq\))
Presupunem că un punct \(x\) se află în interioarele ambelor mulțimi, \(\text{Int}(A)\) și \(\text{Int}(B)\). Aceasta înseamnă că există două medii deschise, fiecare complet inclus în mulțimea sa, care îl conțin pe \(x\).
Intersecția celor două medii deschise este și ea o mulțime deschisă. Aceasta îl conține pe \(x\) și este inclusă în întregime în \(A \cap B\). În consecință, \(x\) este interior și în intersecția celor două mulțimi.
Fie \(x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B)\). Există deschise \(U\) și \(V\) astfel încât \(x \in U \subseteq A\) și \(x \in V \subseteq B\).
Definim \(W = U \cap V\). Această intersecție este deschisă și îl conține pe \(x\).
Deoarece \(W\) este inclusă în ambele mulțimi, avem \(W \subseteq A \cap B\).
Prin urmare, \(x \in \text{Int}(A \cap B)\).
2] A doua incluziune (\(\supseteq\))
Presupunem acum că un punct \(x\) aparține interiorului lui \(A \cap B\). Prin definiție, există un mediu deschis complet inclus în intersecție care îl conține pe \(x\).
Această mulțime deschisă se află deci și în \(A\), și în \(B\), ceea ce înseamnă că \(x\) este interior în ambele mulțimi. În concluzie, aparține intersecției interioarelor.
Fie \(x \in \text{Int}(A \cap B)\). Există o mulțime deschisă \(W\) astfel încât \(x \in W \subseteq A \cap B\).
Rezultă că \(W \subseteq A\) și \(W \subseteq B\).
Prin urmare, \(x \in \text{Int}(A)\) și \(x \in \text{Int}(B)\), deci \(x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B)\).
Odată demonstrate ambele incluziuni, obținem egalitatea finală:
\[ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cap B) \]
Rezultatul este unul dintre cele mai clare exemple ale comportamentului bine structurat al interiorului în raport cu operațiile între mulțimi. Textura logică a topologiei devine aici cât se poate de transparentă.
