Intersecția dintre frontieră și o mulțime
Intersecția dintre frontiera \( \partial A \) a unei mulțimi și mulțimea însăși \( A \) este vidă dacă și numai dacă \( A \) este deschisă: $$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ este deschisă} $$
Această proprietate oferă un criteriu clar și intuitiv pentru a recunoaște mulțimile deschise dintr-un spațiu topologic.
Mai precis, o mulțime \( A \) este deschisă exact atunci când niciunul dintre punctele sale nu se află pe frontieră.
Exemplu concret
Să analizăm intervalul deschis \((0, 1)\) într-un context familiar, și anume dreapta reală \(\mathbb{R}\), echipată cu topologia uzuală.
$$ A = (0, 1) $$
Mulțimea \( A \) este deschisă în această topologie.
Frontiera se definește ca intersecția dintre închiderea mulțimii și închiderea complementului său \( \mathbb{R} \setminus A \):
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - A) $$
Închiderea lui \( A \) este intervalul închis \([0, 1]\):
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
Închiderea complementului este:
$$ \text{Cl}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Prin urmare, frontiera lui \( A \) este formată din capetele intervalului:
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
Verificăm acum intersecția dintre frontieră și mulțime:
$$ \partial A \cap A = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$
Rezultatul confirmă faptul că intervalul \((0, 1)\) nu conține puncte de frontieră, ceea ce este caracteristic unei mulțimi deschise.
Exemplul 2
Să considerăm acum intervalul închis \( B = [0, 1] \), în aceeași topologie uzuală pe \(\mathbb{R}\):
$$ B = [0, 1] $$
Mulțimea \( B \) este o mulțime închisă.
Frontiera sa este determinată în mod analog:
$$ \partial B = \text{Cl}(B) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - B) $$
Avem:
$$ \text{Cl}(B) = [0, 1] $$
$$ \text{Cl}(\mathbb{R} - B) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Rezultă din nou:
$$ \partial B = \{0, 1\} $$
De această dată însă, intersecția cu mulțimea nu mai este vidă:
$$ \partial B \cap B = \{0, 1\} \cap [0, 1] = \{0, 1\} $$
Acest fapt arată că intervalul închis \([0, 1]\) conține puncte de frontieră și, prin urmare, nu este o mulțime deschisă.
Demonstrație
Demonstrăm acum afirmația de mai sus analizând separat cele două implicații.
(⇒) Dacă \( \partial A \cap A = \emptyset \), atunci \( A \) este deschisă
Presupunem că mulțimea \( A \) nu are puncte comune cu frontiera sa:
$$ \partial A \cap A = \emptyset $$
În acest caz, fiecare punct \( x \in A \) admite o vecinătate care este inclusă în întregime în \( A \).
Aceasta este exact condiția cerută de definiția unei mulțimi deschise în topologie.
Rezultă astfel că \( A \) este deschisă.
(⇐) Dacă \( A \) este deschisă, atunci \( \partial A \cap A = \emptyset \)
Presupunem acum că \( A \) este o mulțime deschisă.
Prin definiție, fiecare punct al lui \( A \) are o vecinătate inclusă complet în \( A \).
În consecință, niciun punct din \( A \) nu poate aparține frontierei, care separă mulțimea de complementul său.
Rezultă că:
$$ \partial A \cap A = \emptyset $$
Concluzie
Am arătat că o mulțime este deschisă dacă și numai dacă nu conține puncte de frontieră: $$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ este deschisă} $$
Această caracterizare este utilă atât din punct de vedere teoretic, cât și în aplicații concrete ale topologiei.
