Monotonia operatorului de închidere
Monotonia operatorului de închidere exprimă faptul că, pentru orice două mulțimi \( A \) și \( B \) (nu neapărat închise), dacă \( A \subseteq B \), atunci închiderea lui \( A \) este inclusă în închiderea lui \( B \): \[ A \subseteq B \implies \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Este una dintre proprietățile de bază ale operatorului de închidere și apare în mod natural încă de la primele noțiuni de topologie generală.
Intuitiv, ideea este foarte simplă. Dacă o mulțime este conținută în alta, atunci și „extinderea" ei prin adăugarea punctelor de acumulare nu poate depăși închiderea mulțimii mai mari.
O analogie utilă este cea a unor recipiente: dacă așezăm un recipient mic într-unul mai mare și apoi le închidem pe amândouă, conținutul recipientului mic rămâne inevitabil în interiorul celui mare.
Un exemplu concret
Să lucrăm într-un spațiu topologic familiar: dreapta reală \(\mathbb{R}\), echipată cu topologia uzuală.
În acest context, mulțimile deschise sunt exact intervalele deschise.
Considerăm următoarele submulțimi ale lui \(\mathbb{R}\):
\[ A = (0, 1) \]
\[ B = [0, 2] \]
Este imediat evident că \( A \subseteq B \), deoarece orice element al intervalului \( (0,1) \) aparține și intervalului \([0,2]\).
\[ A \subseteq B \]
Închiderea mulțimii \(A\)
Mulțimea \( A \) este intervalul deschis \( (0, 1) \).
Închiderea sa se obține prin adăugarea tuturor punctelor de acumulare ale mulțimii.
În acest caz, singurele puncte de acumulare sunt \( 0 \) și \( 1 \), deoarece orice vecinătate a acestor puncte conține elemente din \( A \).
Rezultă astfel:
\[ \text{Cl}(A) = [0, 1] \]
Închiderea mulțimii \(B\)
Mulțimea \( B \) este intervalul închis \([0, 2]\).
Fiind deja o mulțime închisă, aceasta conține toate punctele sale de acumulare, iar închiderea sa coincide cu mulțimea însăși:
\[ \text{Cl}(B) = [0, 2] \]
Observația esențială
Având \( \text{Cl}(A) = [0, 1] \) și \( \text{Cl}(B) = [0, 2] \), se vede clar că:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Intervalul \([0,1]\) este inclus în \([0,2]\), ceea ce confirmă, în acest exemplu concret, monotonia operatorului de închidere.
Demonstrația
Să presupunem că \( A \subseteq B \):
\[ A \subseteq B \]
Trebuie să arătăm că \( \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \).
Din ipoteză rezultă că orice punct al lui \( A \) este și un punct al lui \( B \).
Prin definiție, un punct \( x \) aparține lui \( \text{Cl}(A) \) dacă și numai dacă orice vecinătate a lui \( x \) intersectează mulțimea \( A \).
Deoarece \( A \subseteq B \), orice vecinătate care intersectează \( A \) va intersecta automat și \( B \).
Prin urmare, orice punct din \( \text{Cl}(A) \) aparține și lui \( \text{Cl}(B) \), ceea ce implică incluziunea:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
O formulare echivalentă a demonstrației pornește de la faptul că închiderea unei mulțimi este intersecția tuturor mulțimilor închise care o conțin. Dacă \( A \subseteq B \), atunci orice mulțime închisă care îl conține pe \( B \) îl conține automat și pe \( A \). Intersecția acestora, adică \( \text{Cl}(B) \), va conține în mod necesar și \( \text{Cl}(A) \).
În concluzie, monotonia operatorului de închidere este o consecință directă a definiției închiderii și a relației de incluziune dintre mulțimi.
Și așa mai departe.
