Proprietatea caracteristică a mulțimilor închise

O mulțime \( A \) este închisă dacă și numai dacă aderența sa coincide cu mulțimea însăși în spațiul topologic considerat: $$ A = \text{Cl}(A) $$

Exemplu concret

Luăm ca exemplu spațiul topologic \( \mathbb{R} \), dotat cu topologia uzuală, și mulțimea \( A = [0, 1] \).

Amintim că o mulțime este închisă atunci când conține toate punctele sale de acumulare. În acest caz, punctele de acumulare ale mulțimii \( A = [0, 1] \) sunt toate punctele intervalului, inclusiv capetele sale.

Deoarece mulțimea \( A \) include toate aceste puncte, rezultă imediat că ea este o mulțime închisă.

Să verificăm explicit dacă relația \( A = \text{Cl}(A) \) este îndeplinită.

Aderența mulțimii \( A \) în topologia uzuală coincide cu mulțimea însăși, deoarece intervalul \( [0, 1] \) conține deja toate punctele sale de acumulare:

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

Prin urmare:

$$ A = \text{Cl}(A) $$

Acest exemplu arată clar că mulțimea \( A = [0, 1] \) este închisă tocmai pentru că este egală cu aderența sa.

În același timp, el ilustrează o proprietate fundamentală a topologiei: o mulțime este închisă dacă și numai dacă este egală cu aderența sa.

Demonstrație

Pentru demonstrație, ne bazăm pe definițiile de bază ale topologiei:

• Aderența unei mulțimi: Aderența unei mulțimi \( A \), notată \( \text{Cl}(A) \), este mulțimea formată din punctele lui \( A \) împreună cu toate punctele sale de acumulare. Mai precis: \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{x \in X \mid \text{orice vecinătate a lui } x \text{ intersectează } A \} \]
• Mulțime închisă: O mulțime \( A \) se numește închisă dacă include toate punctele sale de acumulare. În consecință, \( A \) este închisă ⇔ \( A = \text{Cl}(A) \).

Să demonstrăm acum această echivalență în ambele sensuri.

1] Dacă \( A \) este închisă, atunci \( A = \text{Cl}(A) \)

Presupunem că \( A \) este o mulțime închisă. Prin definiție, orice punct de acumulare al lui \( A \) aparține mulțimii \( A \).

Pe de altă parte, aderența lui \( A \) este alcătuită din punctele lui \( A \) și din toate punctele sale de acumulare. Rezultă astfel:

$$ \text{Cl}(A) = A \cup \{ \text{punctele de acumulare ale lui } A \} = A $$

De unde obținem imediat:

$$ A = \text{Cl}(A) $$

2] Dacă \( A = \text{Cl}(A) \), atunci \( A \) este închisă

Presupunem acum că \( A = \text{Cl}(A) \). Deoarece aderența conține, prin definiție, toate punctele de acumulare ale lui \( A \), aceste puncte aparțin în mod necesar mulțimii \( A \).

În concluzie, mulțimea \( A \) conține toate punctele sale de acumulare, ceea ce înseamnă că \( A \) este o mulțime închisă.