Proprietatea de incluziune a interiorului mulțimilor

Dacă o mulțime $ A $ este inclusă într-o mulțime $ B $, atunci interiorul mulțimii $ A $ este, la rândul său, inclus în interiorul mulțimii $ B $: $$ A \subseteq B \Rightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Această proprietate este una fundamentală în topologie și exprimă un fapt intuitiv: orice regiune „complet interioară" unei mulțimi mai mici rămâne interioară și atunci când privim o mulțime mai mare care o conține.

Formulat diferit, operatorul de interior respectă relația de incluziune dintre mulțimi, fiind un operator monoton.

Exemplu ilustrativ
Demonstrație

Exemplu ilustrativ

Pentru a înțelege mai bine această proprietate, să analizăm un exemplu simplu în $ \mathbb{R} $, echipat cu topologia uzuală.

Considerăm mulțimile:

$$ A = [1, 3] $$

$$ B = [0, 4] $$

Este clar că fiecare element al lui $ A $ aparține și lui $ B $, deci:

$$ A \subseteq B $$

În topologia standard a lui $ \mathbb{R} $, interiorul unei mulțimi se obține ca reuniunea tuturor mulțimilor deschise conținute în aceasta.

Interiorul lui A
Mulțimea $ A = [1, 3] $ conține intervalul deschis $ (1, 3) $. Prin urmare: \[
\text{Int}(A) = (1, 3)
\]
Interiorul lui B
În mod similar, mulțimea $ B = [0, 4] $ conține intervalul deschis $ (0, 4) $, ceea ce conduce la: \[
\text{Int}(B) = (0, 4)
\]

Se observă imediat că interiorul lui $ A $ este inclus în interiorul lui $ B $:

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Acest exemplu concret arată cum incluziunea dintre mulțimi se reflectă direct și la nivelul interiorului lor, atunci când lucrăm în $ \mathbb{R} $ cu topologia uzuală.

Demonstrație

Fie $ A $ și $ B $ două submulțimi ale unui spațiu topologic $ X $, cu proprietatea că $ A \subseteq B $.

Obiectivul nostru este să arătăm că interiorul lui $ A $ este inclus în interiorul lui $ B $.

Conform definiției, interiorul unei mulțimi $ A $, notat $ \text{Int}(A) $, este reuniunea tuturor mulțimilor deschise incluse în $ A $. Cu alte cuvinte, este cea mai mare mulțime deschisă conținută în $ A $.

Deoarece $ A \subseteq B $, orice mulțime deschisă conținută în $ A $ este, automat, conținută și în $ B $.

Rezultă că $ \text{Int}(A) $ este o mulțime deschisă inclusă în $ B $.

Pe de altă parte, $ \text{Int}(B) $ este, prin definiție, cea mai mare mulțime deschisă conținută în $ B $. Prin urmare, avem relația:

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Concluzia este că operația de interior păstrează ordinea de incluziune dintre submulțimi în orice spațiu topologic.

Demonstrația este astfel completă.