Relația de complementaritate dintre interiorul și închiderea unei mulțimi
În topologie, relația de complementaritate dintre interiorul și închiderea unei mulțimi arată cum aceste două operații fundamentale se reflectă una în cealaltă prin intermediul complementului. Concret, interiorul complementului unei mulțimi \( A \) este întotdeauna egal cu complementul închiderii lui \( A \): $$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$ Această identitate exprimă o simetrie esențială în structura oricărui spațiu topologic.
Exemplu ilustrativ
Pentru a înțelege intuitiv relația, să lucrăm într-un spațiu familiar: axa reală \(\mathbb{R}\) cu topologia standard, unde mulțimile deschise sunt intervalele deschise.
Considerăm mulțimea \( A = [0,1] \), un interval închis:
$$ A = [0,1] $$
Complementul acestui interval este format din două porțiuni neîntrerupte:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Pentru a determina interiorul complementului, observăm că aceste două intervale sunt deja deschise. Așadar, interiorul lor este chiar mulțimea inițială:
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Pe de altă parte, închiderea lui \( A \) adaugă toate punctele de acumulare ale intervalului, însă cum \( A \) este deja închis, închiderea sa rămâne:
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
Complementul acestei închideri este identic cu cel al lui \( A \):
$$ \mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Comparând cele două rezultate, observăm că sunt identice. Exemplul confirmă vizibil relația teoretică discutată:
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = \mathbb{R} - \text{Cl}(A) $$
Această corespondență nu este o coincidență, ci un fenomen structural care apare în orice spațiu topologic, nu doar în \(\mathbb{R}\).
Demonstrație
Vom prezenta demonstrația acestei identități folosindu-ne de definițiile standard ale interiorului și închiderii.
Interiorul unei mulțimi \( B \), notat \( \text{Int}(B) \), cuprinde toate punctele care dispun de o vecinătate inclusă în întregime în \( B \). Închiderea unei mulțimi \( A \), notată \( \text{Cl}(A) \), reunește mulțimea \( A \) cu toate punctele sale de acumulare.
Demonstrația se desfășoară prin două incluziuni complementare.
1] De ce \(\text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A)\)
Fie un punct \( x \) aflat în interiorul complementului lui \( A \). Asta înseamnă că există o vecinătate \( U \) a punctului care nu intersectează deloc mulțimea \( A \). Dacă \( x \) ar fi un punct de acumulare al lui \( A \), atunci orice vecinătate a sa ar trebui să conțină un punct al lui \( A \), ceea ce contrazice proprietatea vecinătății \( U \). Prin urmare, \( x \) nu poate aparține închiderii lui \( A \). Concluzia este imediată:
$$ \text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A) $$
2] De ce \(X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A)\)
Acum luăm un punct \( x \) care nu aparține închiderii lui \( A \). Aceasta înseamnă că nu este nici în \( A \), nici măcar în apropierea lui \( A \) în sens topologic. Prin definiție, trebuie să existe o vecinătate \( U \) a lui \( x \) care nu conține niciun punct din \( A \). Întrucât vecinătatea se află complet în exteriorul lui \( A \), ea este inclusă în complementul lui \( A \), ceea ce face ca \( x \) să fie un punct interior al acestui complement:
$$ X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) $$
3] Concluzie
Reunind cele două direcții, obținem egalitatea completă:
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Relația arată cum interiorul și închiderea sunt legate printr-o complementaritate profundă, ușor de demonstrat, dar foarte utilă în studiul structurilor topologice. Ea apare constant în analiza proprietăților spațiilor și în formularea altor rezultate fundamentale.
