Tiempo de vida y anchura de desintegración de las partículas
El tiempo de vida ( \( \tau \) ) de una partícula es el tiempo medio que transcurre antes de que se desintegre. Se trata de una medida estadística de su estabilidad y es inversamente proporcional a su anchura de desintegración. $$ \tau = \frac{1}{\Gamma} $$
Cuando se crea una partícula inestable, no existe ninguna forma de saber exactamente cuándo se desintegrará. La desintegración de partículas es, por naturaleza, un proceso probabilístico.
Por ejemplo, dos muones producidos en el mismo instante pueden desintegrarse en momentos completamente distintos.
Por esta razón, los físicos no se centran en la duración de una partícula individual. En su lugar, estudian el tiempo de vida medio observado en grandes conjuntos de partículas idénticas.
El tiempo de vida de una partícula se representa convencionalmente mediante el símbolo \( \tau \).
Comprender los tiempos de vida de las partículas es uno de los objetivos fundamentales de la física de partículas. Su estudio permite describir cómo las partículas inestables se transforman en otras partículas y cuantificar la probabilidad de que tengan lugar distintos procesos de desintegración.
Nota. La física de partículas estudia principalmente tres grandes categorías de sistemas y procesos físicos: estados ligados, desintegraciones y procesos de dispersión. La mecánica cuántica no relativista proporciona una descripción eficaz de numerosos estados ligados, mientras que la teoría cuántica de campos relativista constituye el marco teórico fundamental para describir las desintegraciones de partículas y los fenómenos de dispersión a altas energías.
Dado que la desintegración es un fenómeno probabilístico, el resultado de un evento individual no puede predecirse de antemano. Sin embargo, al analizar grandes poblaciones de partículas, los físicos pueden determinar el tiempo de vida de una partícula a partir de la tasa de desintegración medida experimentalmente.
La tasa de desintegración, representada por \( \Gamma \), expresa la probabilidad por unidad de tiempo de que una partícula se desintegre. En teoría cuántica de campos, esta magnitud también recibe el nombre de anchura de desintegración.
Las partículas no tienen memoria
Una característica fundamental de la desintegración de partículas es que la probabilidad de desintegración no depende de la edad de la partícula.
Una partícula recién creada y otra que ha existido durante mucho más tiempo tienen exactamente la misma probabilidad de desintegrarse en el siguiente instante. En otras palabras, las partículas no conservan memoria del tiempo que llevan existiendo.
Por ejemplo, un muón recién producido y otro mucho más antiguo tienen la misma probabilidad de desintegrarse en el instante siguiente.
Nota. Este comportamiento es muy diferente del que observamos en la vida cotidiana. Una persona de 80 años suele tener una esperanza de vida menor que una persona de 20 años. Las partículas inestables no se comportan así. Para una partícula, la edad no importa. Una partícula "joven" y una partícula "vieja" tienen siempre la misma probabilidad de desintegrarse durante un intervalo de tiempo determinado.
Como consecuencia, el tiempo de vida de una partícula es inversamente proporcional a su anchura de desintegración.
$$ \tau = \frac{1}{\Gamma} $$
Cuanto mayor es la anchura de desintegración, más corto es el tiempo de vida de la partícula. Por el contrario, una anchura de desintegración pequeña implica un tiempo de vida más largo.
Ejemplo de cálculo del tiempo de vida
Supongamos que la tasa de desintegración de un muón es
\[ \Gamma = 0.1 \ \text{s}^{-1} \]
El tiempo de vida correspondiente es
\[ \tau=\frac{1}{\Gamma}=\frac{1}{0.1}=10 \ \text{s} \]
Esto no significa que todos los muones sobrevivan exactamente 10 segundos. Significa que, si observamos una gran población de muones, el tiempo de vida medio será de 10 segundos.
Nota. Los valores utilizados en este ejemplo se han elegido únicamente para simplificar los cálculos. En realidad, el tiempo de vida de un muón es mucho menor, aproximadamente \( 2.2 \times 10^{-6} \) segundos, es decir, 2,2 microsegundos. Sin embargo, esto no significa que todos los muones sobrevivan exactamente ese tiempo. La desintegración es un proceso aleatorio. Un muón puede desintegrarse tras \( 10^{-7} \) segundos, otro después de \( 5 \times 10^{-6} \) segundos y otro tras \( 10^{-5} \) segundos. Lo que puede predecirse no es el comportamiento de una partícula individual, sino el comportamiento estadístico de una población muy numerosa de partículas.
Ley de desintegración exponencial
El número de partículas supervivientes disminuye exponencialmente con el tiempo de acuerdo con la ley de desintegración exponencial.
La ecuación de desintegración es
\[ N(t)=N(0)e^{-\Gamma t} \]
donde \( N(0) \) es el número inicial de partículas, \( N(t) \) es el número de partículas que permanecen en el instante \( t \) y \( \Gamma \) es la tasa de desintegración.
Esta ecuación muestra que el número de partículas supervivientes disminuye de forma exponencial a medida que transcurre el tiempo.
Por ejemplo, supongamos que inicialmente tenemos \( N(0)=1000 \) partículas y una tasa de desintegración de \( \Gamma = 0.1 \ \text{s}^{-1} \). Después de \( t=10 \) segundos permanecen aproximadamente 368 partículas.
\[N(t)=N(0)e^{-\Gamma t} \]
\[ N(10)=1000 \cdot e^{-0.1 \cdot 10} \]
\[ N(10)=1000 \cdot e^{-1} \]
Dado que \( e^{-1}\approx 0.367879 \), se obtiene
\[ N(10)\approx 1000 \cdot 0.367879 \]
\[ N(10)\approx 367.879 \]
\[ N(10)\approx 368 \]
Por lo tanto, después de 10 segundos permanecen aproximadamente 368 partículas, mientras que unas 632 ya se han desintegrado.
Demostración. Supongamos que en el instante \( t \) hay \( N \) partículas presentes. Durante un intervalo infinitesimal de tiempo \( dt \), el número de partículas que se desintegran es proporcional tanto al número de partículas presentes como a la tasa de desintegración \( \Gamma \). La ley fundamental de la desintegración es \[ dN=-\Gamma N\,dt \] El signo negativo indica que el número de partículas disminuye con el tiempo. Al resolver esta ecuación diferencial se obtiene directamente la ley de desintegración exponencial \[ N(t)=N(0)e^{-\Gamma t} \]
Canales de desintegración
Muchas partículas pueden desintegrarse de más de una manera. Estas posibilidades reciben el nombre de canales de desintegración.
Cada canal de desintegración se caracteriza por su propia tasa parcial de desintegración \( \Gamma_i \).
Por ejemplo, el pión cargado positivamente se desintegra principalmente a través del canal \( \pi^+ \rightarrow \mu^+ + \nu_\mu \), aunque también existen otros modos de desintegración menos probables.
Si una partícula puede desintegrarse mediante \( n \) canales diferentes, la tasa total de desintegración es la suma de las tasas parciales asociadas a todos ellos.
\[ \Gamma_{\text{tot}}=\sum_{i=1}^{n}\Gamma_i \]
Por tanto, el tiempo de vida de la partícula depende de la tasa total de desintegración:
\[ \tau=\frac{1}{\Gamma_{\text{tot}}} \]
En consecuencia, para determinar el tiempo de vida de una partícula es necesario tener en cuenta todos los canales de desintegración posibles.
Ejemplo. Supongamos que una partícula puede desintegrarse mediante dos canales:
- Canal A: \( \Gamma_1 = 2\ \text{s}^{-1} \)
- Canal B: \( \Gamma_2 = 3\ \text{s}^{-1} \)
La tasa total de desintegración es
\[ \Gamma_{\text{tot}}=\Gamma_1+\Gamma_2=(2+3)\,\text{s}^{-1}=5\ \text{s}^{-1} \]
El tiempo de vida correspondiente es
\[ \tau=\frac{1}{\Gamma_{\text{tot}}}=\frac{1}{5}=0.2\ \text{s} \]
Aunque cada canal contribuye de manera diferente al proceso de desintegración, el tiempo de vida depende exclusivamente de la tasa total obtenida al sumar las contribuciones de todos los canales disponibles.
Fracciones de ramificación
Además del tiempo de vida, suele ser importante conocer la probabilidad relativa asociada a cada canal de desintegración.
Esta magnitud se conoce como fracción de ramificación.
Para el canal de desintegración \( i \)-ésimo, la fracción de ramificación se define como
\[ BR_i=\frac{\Gamma_i}{\Gamma_{\text{tot}}} \]
La fracción de ramificación representa la proporción de todas las desintegraciones que tienen lugar a través de un canal determinado.
Un ejemplo práctico
Supongamos que una partícula tiene dos canales de desintegración:
\[ \Gamma_1=6 \]
\[ \Gamma_2=4 \]
La tasa total de desintegración es
\[ \Gamma_{\text{tot}}=6+4=10 \]
Las fracciones de ramificación son
\[ BR_1=\frac{6}{10}=0.6 \]
\[ BR_2=\frac{4}{10}=0.4 \]
Esto significa que el 60 % de todas las desintegraciones ocurren a través del primer canal, mientras que el 40 % tienen lugar a través del segundo.
Las fracciones de ramificación indican, por tanto, con qué frecuencia una partícula se desintegra a través de cada uno de los canales disponibles.
Conclusión
En la práctica, dos magnitudes bastan para describir la mayor parte de los aspectos relacionados con la desintegración de partículas:
- Tasa total de desintegración y tiempo de vida
Indican la rapidez con la que se desintegra una partícula (\( \Gamma \) o \( \tau \)). - Fracciones de ramificación
Indican qué estados finales se producen y con qué probabilidad.
El tiempo de vida está determinado por la tasa total de desintegración, mientras que las fracciones de ramificación describen cómo se distribuyen las desintegraciones entre los distintos canales posibles.
Juntas, estas magnitudes proporcionan una descripción estadística completa del modo en que se desintegran las partículas inestables.
