Definicija neprekidnosti pomoću otvorenih skupova

Funkcija $ f : X \to Y $ je neprekidna ako, i samo ako, za svaku tačku $ x \in X $ i svaki otvoreni skup $ U \subset Y $ koji sadrži $ f(x) $, postoji okolina $ V $ tačke $ x $ takva da važi $ f(V) \subset U $.

Ova definicija može djelovati apstraktno, ali njena suština je jednostavna: male promjene ulaza ne smiju proizvesti "skokove" u izlazu. Topologija tu ide korak dalje i ne govori o udaljenostima, već o otvorenim skupovima.

Drugim riječima, funkcija $ f : X \to Y $ je neprekidna ako i samo ako za svaki otvoreni skup $ U \subset Y $, njegova inverzna slika $ f^{-1}(U) $ jeste otvoren skup u $ X $.

ilustracija neprekidnosti funkcije

Ključna ideja je sljedeća: inverzna slika svakog otvorenog skupa u kodomenu mora biti otvorena u domenu.

Ovaj rezultat daje topološku definiciju neprekidnosti, zasnovanu isključivo na strukturi otvorenih skupova u oba prostora.

Napomena : Ova formulacija je ekvivalentna poznatoj analitičkoj definiciji pomoću $\varepsilon$-$\delta$. Preciznije, funkcija $ f $ je neprekidna u tački $ x_0 \in \mathbb{R} $ ako za svaki $\varepsilon > 0$ postoji $\delta > 0$ takav da iz uslova $ |x - x_0| < \delta $ slijedi $ |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon $. Ova verzija se uvodi u osnovnim kursevima analize.

Neprekidnost se može opisati i na drugi način: funkcija je neprekidna ako je inverzna slika svakog zatvorenog skupa zatvoren skup. Ove dvije formulacije su potpuno ekvivalentne i često se koriste u zavisnosti od konteksta.

Konkretan primjer
Dokaz ekvivalentnosti

Konkretan primjer

Razmotrimo funkciju $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, definisanu kao $ f(x) = x^2 $.

Želimo provjeriti njenu neprekidnost koristeći upravo definiciju preko otvorenih skupova.

Uzmimo otvoreni skup $ U = (1, 4) $, koji sadrži sve realne brojeve između 1 i 4.

otvoreni interval kao primjer

Prvi korak je da odredimo inverznu sliku:

$$ f^{-1}(U) = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 \in (1, 4) \} $$

Rješavamo nejednakost:

$$ 1 < x^2 < 4 $$

što je ekvivalentno:

$$ 1 < |x| < 2 $$

Odavde slijedi:

$$ x \in (-2, -1) \cup (1, 2) $$

Dobijeni skup je otvoren u $ \mathbb{R} $, što je prvi važan korak.

Sada uzmimo jednu konkretnu tačku iz tog skupa, na primjer $ x = 1{,}5 $.

Tada je:

$$ f(1{,}5) = 2{,}25 \in (1, 4) $$

provjera u jednoj tački

Sada tražimo malu okolinu oko $ x $ koja ostaje unutar skupa $ U $ nakon primjene funkcije.

Uzmimo interval:

$$ V = (1{,}4, 1{,}6) $$

okolina tačke

Izračunajmo vrijednosti na krajevima:

$$ f(1{,}4) = 1{,}96 \quad \text{i} \quad f(1{,}6) = 2{,}56 $$

Vidimo da važi:

$$ f(V) = (1{,}96, 2{,}56) \subset (1, 4) $$

To znači da mala okolina oko $ x $ ostaje unutar $ U $ nakon primjene funkcije, što je upravo ono što definicija traži.

Kako se isti argument može primijeniti na svaku tačku, zaključujemo da je funkcija $ f(x) = x^2 $ neprekidna na cijelom skupu $ \mathbb{R} $.

Napomena : Važno je razumjeti da se neprekidnost ne provjerava u jednoj tački, već u svakoj tački domena. Tek tada možemo reći da je funkcija neprekidna na cijelom prostoru.

Dokaz ekvivalentnosti

Pokazaćemo da su dvije definicije neprekidnosti zaista ekvivalentne.

A] Iz topološke definicije slijedi uslov sa okolinama

Pretpostavimo da je funkcija $ f $ neprekidna u smislu otvorenih skupova.

Neka je $ x \in X $ i neka otvoreni skup $ U \subset Y $ sadrži $ f(x) $.

Definišimo $ V = f^{-1}(U) $. Po pretpostavci, $ V $ je otvoren skup u $ X $.

Pošto je $ x \in V $, skup $ V $ je okolina tačke $ x $, a pritom važi $ f(V) \subset U $.

Time je uslov ispunjen.

B] Obrnuto: iz uslova sa okolinama slijedi topološka definicija

Pretpostavimo sada da za svaku tačku $ x \in X $ i svaki otvoreni skup $ U \subset Y $ koji sadrži $ f(x) $, postoji okolina $ V $ takva da važi $ f(V) \subset U $.

Treba pokazati da je za svaki otvoreni skup $ W \subset Y $, skup $ f^{-1}(W) $ otvoren.

Uzmimo proizvoljnu tačku $ x \in f^{-1}(W) $. Tada je $ f(x) \in W $.

Po pretpostavci, postoji okolina $ V_x $ takva da važi $ f(V_x) \subset W $.

To znači da je $ V_x \subset f^{-1}(W) $.

Drugim riječima, oko svake tačke skupa $ f^{-1}(W) $ postoji otvorena okolina sadržana u tom skupu, što znači da je $ f^{-1}(W) $ otvoren skup.

Zaključak

Obje definicije opisuju istu ideju neprekidnosti, samo iz različitih uglova. Jedna koristi otvorene skupove, druga koristi okoline, ali matematički su potpuno ekvivalentne.

I tako dalje.