Karakterizacija neprekidnosti pomoću zatvorenih skupova
Neka su \( X \) i \( Y \) topološki prostori. Preslikavanje \( f : X \to Y \) je neprekidno ako, i samo ako, inverzna slika svakog zatvorenog skupa \( C \subseteq Y \) jest zatvoren skup u \( X \).
Ovaj rezultat nudi drugačiji, ali potpuno ekvivalentan način razumijevanja neprekidnosti preslikavanja između topoloških prostora.
U praksi se neprekidnost najčešće definira pomoću otvorenih skupova: preslikavanje je neprekidno ako je inverzna slika svakog otvorenog skupa iz \( Y \) otvoren skup u \( X \).
Međutim, ista ideja može se izraziti i kroz zatvorene skupove. To dovodi do sljedeće važne činjenice: preslikavanje \( f : X \to Y \) je neprekidno ako za svaki zatvoren skup \( C \subseteq Y \) vrijedi da je inverzna slika \( f^{-1}(C) \) zatvorena u \( X \).
Napomena : Ova formulacija jasno pokazuje vezu između otvorenih i zatvorenih skupova. Svaki zatvoren skup može se promatrati kao komplement nekog otvorenog skupa, i obrnuto. Upravo ta dualnost omogućuje dvije potpuno ekvivalentne definicije neprekidnosti.
Konkretan primjer
Razmotrimo funkciju \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definiranu formulom \( f(x) = x^2 \), na realnoj pravcu sa standardnom topologijom. U toj topologiji otvoreni skupovi su otvoreni intervali ili njihove unije.
$$ f(x) = x^2 $$
Provjerimo kako djeluje karakterizacija pomoću zatvorenih skupova.
Uzmimo zatvoren skup \( C = [1, +\infty) \subseteq Y \). Riječ je o zatvorenom skupu jer sadrži svoju donju granicu.
Inverzna slika tog skupa dana je izrazom:
$$ f^{-1}(C) = \{ x \in \mathbb{R} : x^2 \in [1, +\infty) \} = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $$
Dobiveni skup je unija dvaju zatvorenih skupova, pa je i sam zatvoren u standardnoj topologiji na \( \mathbb{R} \).
Budući da inverzna slika zatvorenog skupa ostaje zatvorena, uvjet neprekidnosti je zadovoljen. Primjenom istog postupka na bilo koji zatvoren skup iz \( Y \), zaključujemo da je funkcija \( f(x) = x^2 \) neprekidna.
Dokaz
Dokaz se sastoji od dva koraka. Najprije se pokazuje da neprekidnost povlači svojstvo zatvorenosti inverznih slika. Zatim se dokazuje i obrat.
1] (⇒) Ako je \( f \) neprekidna, tada je za svaki zatvoren skup \( C \subseteq Y \) skup \( f^{-1}(C) \) zatvoren:
Po definiciji, inverzna slika svakog otvorenog skupa iz \( Y \) otvorena je u \( X \).
Neka je \( C \subseteq Y \) zatvoren skup. Njegov komplement \( Y \setminus C \) je otvoren skup u \( Y \).
Budući da je \( f \) neprekidna, skup \( f^{-1}(Y \setminus C) \) otvoren je u \( X \).
Vrijedi relacija \( f^{-1}(Y \setminus C) = X \setminus f^{-1}(C) \). To znači da je komplement skupa \( f^{-1}(C) \) otvoren, pa je sam skup \( f^{-1}(C) \) zatvoren.
Time je pokazano da inverzna slika svakog zatvorenog skupa mora biti zatvorena.
2] (⇐) Ako je inverzna slika svakog zatvorenog skupa zatvorena, tada je \( f \) neprekidna:
Pretpostavimo da za svaki zatvoren skup \( C \subseteq Y \) vrijedi da je \( f^{-1}(C) \) zatvoren u \( X \).
Neka je \( U \subseteq Y \) otvoren skup. Njegov komplement \( Y \setminus U \) zatvoren je u \( Y \).
Prema pretpostavci, skup \( f^{-1}(Y \setminus U) \) zatvoren je u \( X \).
Budući da vrijedi \( f^{-1}(Y \setminus U) = X \setminus f^{-1}(U) \), slijedi da je \( f^{-1}(U) \) otvoren u \( X \).
Time je dokazano da je \( f \) neprekidna.
Zaključak
Pokazali smo obje implikacije. Prema tome, preslikavanje \( f : X \to Y \) je neprekidno ako, i samo ako, inverzna slika svakog zatvorenog skupa u \( Y \) jest zatvoren skup u \( X \).
Ova karakterizacija pruža alternativan, često vrlo koristan pogled na pojam neprekidnosti.
