Kontinuitet preslikavanja u kvocijentnoj topologiji
U kvocijentnoj topologiji, svako surjektivno preslikavanje \( f : X \to A \) je kontinuirano po definiciji. Razlog je jednostavan: skup \( V \subseteq A \) je otvoren ako i samo ako je njegova inverzna slika \( f^{-1}(V) \) otvoren skup u prostoru \( X \).
Neka je \( X \) topološki prostor, a \( f : X \to A \) surjektivno preslikavanje, gdje je \( A \) proizvoljan skup, bez pretpostavke da je podskup prostora \( X \).
Kvocijentna topologija na skupu \( A \) definira se upravo s ciljem da preslikavanje \( f \) bude kontinuirano.
Drugim riječima, otvoreni skupovi u \( A \) određuju se preko otvorenih skupova u \( X \): podskup \( V \subseteq A \) smatra se otvorenim ako i samo ako je \( f^{-1}(V) \) otvoren u \( X \).
Iz toga slijedi važna činjenica: kontinuitet preslikavanja \( f \) nije nešto što treba dodatno dokazivati, već proizlazi direktno iz same definicije kvocijentne topologije.
Napomena : Budući da je kvocijentna topologija definirana pomoću otvorenosti inverznih slika, preslikavanje \( f \) je kontinuirano već po samoj konstrukciji.
Konkretan primjer
Razmotrimo jednostavan primjer. Neka je \( X = \{a, b, c\} \) skup koji se sastoji od tri različita elementa.
Definirajmo surjektivno preslikavanje \( f : X \to A \), gdje je \( A = \{1, 2\} \), na sljedeći način :
- \( f(a) = f(b) = 1 \)
- \( f(c) = 2 \).
Ovo znači da preslikavanje \( f \) "spaja" elemente \( a \) i \( b \), jer ih oba šalje u isti element \( 1 \) skupa \( A \).
U kvocijentnoj topologiji, skup \( V \subseteq A \) je otvoren ako i samo ako je njegova inverzna slika \( f^{-1}(V) \) otvorena u prostoru \( X \).
Na primjer, uzmimo \( V = \{1\} \subseteq A \). Tada je \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \). Ako je skup \( \{a, b\} \) otvoren u prostoru \( X \), tada je i skup \( V \) otvoren u \( A \).
Otvoreni skupovi u \( A \) su, dakle: \( \emptyset \), \( \{1, 2\} \) i \( \{2\} \).
- \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \), koji je otvoren u svakoj topologiji
- \( f^{-1}(\{1, 2\}) = \{a, b, c\} \), odnosno cijeli prostor \( X \), pa je otvoren
- \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \), otvoren u \( X \)
- \( f^{-1}(\{2\}) = \{c\} \), također otvoren u \( X \)
Ovaj primjer jasno pokazuje kako kvocijentna topologija funkcionira u praksi i zašto garantira kontinuitet preslikavanja \( f \).
Zaključno, kontinuitet preslikavanja u kvocijentnoj topologiji nije dodatno svojstvo, već direktna posljedica same definicije.
I tako dalje.
