Lema o sljepljivanju

Neka je \( X \) topološki prostor, a \( A \) i \( B \) dva zatvorena podskupa čija unija pokriva cijeli prostor, tj. \( A \cup B = X \). Ako su preslikavanja \( f : A \to Y \) i \( g : B \to Y \) neprekidna u topološki prostor \( Y \) i ako se podudaraju na presjeku \( A \cap B \), odnosno ako vrijedi \( f(x) = g(x) \) za svaki \( x \in A \cap B \), tada je funkcija \( h : X \to Y \), definirana s : $$ h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{ako } x \in A, \\ g(x) & \text{ako } x \in B, \end{cases} $$ neprekidna.

U suštini, ova lema kaže sljedeće: ako imamo dvije neprekidne funkcije definirane na dijelovima prostora koji se preklapaju, i ako se te funkcije slažu na zajedničkom dijelu, možemo ih «spojiti» u jednu funkciju koja je neprekidna na cijelom prostoru.

Ovo je vrlo važan rezultat u topologiji jer omogućuje da složene funkcije gradimo iz jednostavnijih, bez gubitka neprekidnosti.

Konkretan primjer 

Razmotrimo dvije jednostavne funkcije definirane na zatvorenim intervalima:

• \( f : [0, 1] \to \mathbb{R} \), zadana s \( f(x) = x \), neprekidna na \( [0, 1] \);
• \( g : [1, 2] \to \mathbb{R} \), zadana s \( g(x) = 2 - x \), neprekidna na \( [1, 2] \).

Provjerimo uvjete leme o sljepljivanju:

1. Zatvorenost skupova: intervali \( [0, 1] \) i \( [1, 2] \) su zatvoreni u \( \mathbb{R} \).
2. Pokrivanje: zajedno pokrivaju \( [0, 2] \), tj. \( A \cup B = [0, 2] \).
3. Podudaranje na presjeku: presjek je \( \{1\} \). Provjerimo vrijednosti:
   - \( f(1) = 1 \)
   - \( g(1) = 2 - 1 = 1 \)
   Vrijedi \( f(1) = g(1) \), pa je uvjet ispunjen.

Sada možemo definirati funkciju \( h : [0, 2] \to \mathbb{R} \):

$$ h(x) = \begin{cases} x & \text{ako } x \in [0, 1], \\ 2 - x & \text{ako } x \in [1, 2]. \end{cases} $$

Ova funkcija je neprekidna jer:

• na intervalu \( [0, 1] \) podudara se s funkcijom \( f \), koja je neprekidna;
• na intervalu \( [1, 2] \) podudara se s funkcijom \( g \), koja je neprekidna;
• u točki \( x = 1 \) obje definicije daju isti rezultat, pa nema prekida.

Grafički, funkcija \( h \) sastoji se od dva linearna dijela: prvi raste od 0 do 1, a drugi opada od 1 do 0. Ta dva dijela se spajaju bez prekida u točki \( x = 1 \).

Zašto lema vrijedi (ideja dokaza)

Da bismo dokazali neprekidnost funkcije \( h \), koristimo standardni topološki kriterij: inverzna slika zatvorenog skupa mora biti zatvorena.

Neka je \( C \subseteq Y \) zatvoren skup. Tada vrijedi:

$$ h^{-1}(C) = f^{-1}(C) \cup g^{-1}(C). $$

Razlog je jednostavan: funkcija \( h \) ponaša se kao \( f \) na skupu \( A \), a kao \( g \) na skupu \( B \).

• Budući da je \( f \) neprekidna, skup \( f^{-1}(C) \) je zatvoren u \( A \);
• budući da je \( g \) neprekidna, skup \( g^{-1}(C) \) je zatvoren u \( B \).

Budući da su \( A \) i \( B \) zatvoreni u \( X \), ti su skupovi zapravo zatvoreni i u \( X \). Njihova unija je zato također zatvorena.

Time smo pokazali da je \( h^{-1}(C) \) zatvoren za svaki zatvoren skup \( C \), što znači da je \( h \) neprekidna na cijelom prostoru \( X \).

To je upravo tvrdnja leme o sljepljivanju.