Neprekidnost inkluzije u topologiji

Neka je \( X \) topološki prostor, a \( Y \subset X \) njegov podprostor. Inkluzija \( f : Y \to X \) definira se pravilom \( f(y) = y \) za svaki \( y \in Y \). Ovo preslikavanje je neprekidno.

Inkluzija je jedno od najjednostavnijih, ali i najvažnijih preslikavanja u topologiji. Ona ne mijenja elemente, već ih samo promatra u širem prostoru.

Konkretno, svakom elementu iz \( Y \) pridružuje se isti taj element, ali sada kao element prostora \( X \). Ne dolazi ni do kakve transformacije, samo do promjene konteksta u kojem se element promatra.

Drugim riječima, inkluzija prirodno "ugrađuje" podprostor \( Y \) u prostor \( X \).

Napomena : Inkluziju ne treba brkati s identitetskim preslikavanjem. Iako imaju isto pravilo pridruživanja, riječ je o različitim preslikavanjima. Inkluzija povezuje dva prostora (podprostor i nadprostor), dok identitet djeluje unutar jednog te istog prostora.

Zašto je inkluzija neprekidna?

U topologiji, preslikavanje je neprekidno ako je inverzna slika svakog otvorenog skupa opet otvorena.

To znači da za svaki otvoreni skup \( U \subset X \), skup \( f^{-1}(U) \) mora biti otvoren u \( Y \).

Ključna činjenica dolazi iz definicije relativne (inducirane) topologije. Otvoreni skupovi u \( Y \) su upravo presjeci otvorenih skupova iz \( X \) sa \( Y \).

$$ f^{-1}(U) = U \cap Y $$

Drugim riječima, da bismo dobili inverznu sliku, dovoljno je uzeti presjek sa \( Y \).

Budući da je \( U \cap Y \) po definiciji otvoren u \( Y \) čim je \( U \) otvoren u \( X \), slijedi da je inkluzija uvijek neprekidna.

Napomena : Upravo zbog toga je relativna topologija definirana na ovaj način. Ona garantira da je inkluzija automatski neprekidno preslikavanje.

Konkretan primjer

Razmotrimo prostor \( X = \mathbb{R} \) (realna prava) i njegov podprostor \( Y = (0, 1) \), otvoreni interval između 0 i 1.

Inkluzija \( f : Y \to X \) zadana je formulom:

$$ f(y) = y \quad \text{za svaki} \quad y \in (0,1) $$

To znači da svaki broj iz intervala \( (0,1) \) promatramo kao realan broj, bez ikakve promjene.

Uzmimo sada otvoreni skup u \( X \), na primjer:

$$ U = (-1, 0{,}5) $$

Njegov presjek sa \( Y = (0,1) \) je:

$$ U \cap Y = (-1, 0{,}5) \cap (0, 1) = (0, 0{,}5) $$

Dobijeni skup je otvoren u \( Y \), jer odgovara presjeku sa otvorenim skupom iz \( X \).

Ovaj jednostavan primjer pokazuje opšti princip: inverzna slika svakog otvorenog skupa ostaje otvorena.

Zato zaključujemo da je inkluzija \( f : Y \to X \) neprekidno preslikavanje.

I tako dalje.