Teorem o kompoziciji neprekidnih funkcija
Ako su \( f : X \to Y \) i \( g : Y \to Z \) neprekidne funkcije, tada je i njihova kompozicija \( g \circ f : X \to Z \) neprekidna.
Ovaj teorem izražava jednu od osnovnih i vrlo intuitivnih ideja u matematici: ako primjenjujemo dvije funkcije koje nemaju "prekida", ni njihov uzastopni efekat neće imati prekida.
Drugim riječima, ako imamo:
- \( f : X \to Y \)
- \( g : Y \to Z \)
tada funkcija \( g \circ f \), dobijena tako što prvo primijenimo \( f \), a zatim \( g \), ostaje neprekidna.
Ovo svojstvo je ključno u analizi jer omogućava da složenije funkcije gradimo kombinovanjem jednostavnijih, bez gubitka neprekidnosti.
Ilustrativan primjer
Pogledajmo konkretan primjer kako kompozicija funkcioniše u praksi.
$$ f(x) = x^2 \quad \text{definisana na} \quad \mathbb{R} $$
$$ g(y) = \frac{y}{2} \quad \text{definisana na} \quad \mathbb{R} $$
Obje funkcije su neprekidne na skupu \( \mathbb{R} \).
Posmatrajmo kompoziciju:
$$ g \circ f(x) = g(f(x)) = \frac{x^2}{2} $$
Uzmimo otvoreni interval \( (-2, 2) \subset \mathbb{R} \).
Kada na ovaj interval primijenimo funkciju \( f \), dobijamo skup \( [0, 4) \). To znači da vrijednosti funkcije više nisu negativne, a nula je uključena.
Zatim na dobijeni skup primjenjujemo funkciju \( g \), i dobijamo skup \( [0, 2) \).
Sada posmatrajmo obrnuti proces. Inverzna slika otvorenog intervala \( (0, 2) \) preko funkcije \( g \circ f \) jeste skup \( (-2, 2) \setminus \{0\} \), koji je otvoren u \( \mathbb{R} \).
Time vidimo da kompozicija čuva otvorenost skupova kroz inverzne slike, što je upravo suština neprekidnosti.
Isti argument važi za bilo koji otvoreni skup, pa zaključujemo da je funkcija \( g \circ f \) neprekidna na cijelom \( \mathbb{R} \).
Dokaz
Sada formalizujmo prethodnu ideju.
- \( f : X \to Y \)
- \( g : Y \to Z \)
Neka je \( U \subseteq Z \) otvoren skup. Da bismo dokazali da je \( g \circ f \) neprekidna, treba pokazati da je inverzna slika \( (g \circ f)^{-1}(U) \) otvoren skup u \( X \).
Pošto je \( g \) neprekidna, skup \( g^{-1}(U) \) je otvoren u \( Y \).
Pošto je \( f \) neprekidna, skup \( f^{-1}(g^{-1}(U)) \) je otvoren u \( X \).
Važi ključna jednakost:
$$ (g \circ f)^{-1}(U) = f^{-1}(g^{-1}(U)) $$
Iz ove relacije direktno slijedi da je \( (g \circ f)^{-1}(U) \) otvoren skup u \( X \).
Prema definiciji neprekidnosti, zaključujemo da je funkcija \( g \circ f \) neprekidna.
