Teorem o neprekidnosti funkcije i konvergenciji nizova

Neka je $ f : X \to Y $ neprekidna funkcija i neka je $ (x_n) $ niz u $ X $ koji konvergira ka tački $ x $. Tada niz slika $ f(x_1), f(x_2), \dots $ konvergira ka $ f(x) $ u prostoru $ Y $.

Ovaj rezultat kaže nešto vrlo važno: neprekidne funkcije čuvaju granice nizova.

Intuitivno, ako se članovi niza $ (x_n) $ sve više približavaju tački $ x $, tada će se i njihove slike $ f(x_n) $ približavati vrijednosti $ f(x) $.

Primjer
Dokaz

Primjer

Razmotrimo funkciju $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ definisanu formulom $ f(x) = 2x $, kao i niz $ x_n = \frac{1}{n} $, gdje je $ n \in \mathbb{N} $.

Niz $ (x_n) $ konvergira ka $ 0 $ kada $ n \to \infty $.

Njegovi prvi članovi su: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = \frac{1}{2} $, $ x_3 = \frac{1}{3} $, itd.

Kako $ n $ raste, vrijednosti $ x_n $ postaju sve manje i približavaju se nuli.

Pogledajmo sada šta se dešava kada na ove vrijednosti primijenimo funkciju $ f $:

$$ f(x_1) = f(1) = 2 $$

$$ f(x_2) = f\left(\frac{1}{2}\right) = 1 $$

$$ f(x_3) = f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} $$

$$ \dots $$

Dobijeni niz $ f(x_n) = 2x_n $ izgleda ovako: $ 2, 1, \frac{2}{3}, \dots $ i također konvergira ka $ 0 $.

Drugim riječima, vrijedi $ f(x_n) \to f(0) = 0 $, što je upravo ono što teorem predviđa.

Funkcija je, dakle, sačuvala konvergenciju početnog niza.

Dokaz

Pokažimo sada zašto je to uvijek tačno.

Pretpostavimo da je funkcija $ f $ neprekidna i da niz $ x_n $ konvergira ka $ x $ u prostoru $ X $.

Po definiciji neprekidnosti, inverzna slika svakog otvorenog skupa u $ Y $ je otvoren skup u $ X $.

Iskoristit ćemo ovu osobinu da formalno pokažemo konvergenciju niza $ f(x_n) $.

Korak 1 : Izaberimo proizvoljno okruženje

Neka je $ U $ proizvoljno otvoreno okruženje tačke $ f(x) $ u $ Y $.

Treba pokazati da postoji $ N \in \mathbb{N} $ takav da za svaki $ n \geq N $ vrijedi $ f(x_n) \in U $.

Korak 2 : Posmatrajmo inverznu sliku

Pošto je $ f $ neprekidna, skup $ f^{-1}(U) $ je otvoren u $ X $.

Kako je $ f(x) \in U $, slijedi da je $ x \in f^{-1}(U) $.

Korak 3 : Iskoristimo konvergenciju niza

Pošto $ x_n \to x $, postoji $ N \in \mathbb{N} $ takav da za svaki $ n \geq N $ vrijedi $ x_n \in f^{-1}(U) $.

Korak 4 : Zaključak

Iz prethodnog slijedi da za svaki $ n \geq N $ imamo $ f(x_n) \in U $.

To znači da niz $ f(x_n) $ konvergira ka $ f(x) $.

Zaključujemo da neprekidna funkcija čuva granice nizova: ako $ x_n \to x $, tada $ f(x_n) \to f(x) $.