Teorem o neprekidnosti i zatvorenju slike skupa
Neka je \( f : X \to Y \) neprekidno preslikavanje i neka je \( A \subset X \). Ako tačka \( x \in X \) pripada zatvorenju skupa \( A \), tj. \( x \in Cl(A) \), tada i njena slika \( f(x) \) pripada zatvorenju slike skupa \( A \), odnosno \( f(x) \in Cl(f(A)) \).
Drugim riječima, neprekidno preslikavanje čuva "bliskost" tačaka: ako je neka tačka blizu skupa \( A \), onda je i njena slika blizu skupa \( f(A) \).
U topološkom jeziku to znači sljedeće: ako je tačka \( x \) proizvoljno blizu skupa \( A \), tada je i \( f(x) \) proizvoljno blizu skupa \( f(A) \).
Ilustrativni primjer
Posmatrajmo neprekidno preslikavanje \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definisano sa \( f(x) = x^2 \), i skup \( A = (0, 2) \subseteq \mathbb{R} \).
$$ A = (0,2) $$
Zatvorenje skupa \( A \) je
$$ Cl(A) = [0,2] $$
jer uključuje i granične tačke \( 0 \) i \( 2 \), koje ne pripadaju skupu \( A \), ali su njegove akumulacione tačke.
Slika skupa \( A \) putem preslikavanja \( f \) je
$$ f(A) = (0,4) $$
pošto funkcija \( x^2 \) uzima sve vrijednosti između \( 0 \) i \( 4 \) kada je \( x \in (0,2) \).
Zatvorenje ovog skupa je
$$ Cl(f(A)) = [0,4] $$
koje uključuje krajnje tačke \( 0 \) i \( 4 \), kao granične vrijednosti funkcije.
Teorem sada možemo vidjeti na konkretnim primjerima:
- Za \( x = 0 \in Cl(A) \) dobijamo \( f(0) = 0 \in Cl(f(A)) \).
- Za \( x = 2 \in Cl(A) \) dobijamo \( f(2) = 4 \in Cl(f(A)) \).
- Za svako \( x \in (0,2) \) takođe važi \( f(x) \in Cl(f(A)) \).
Dakle, svaka tačka iz zatvorenja skupa \( A \) ima sliku koja pripada zatvorenju skupa \( f(A) \).
Dokaz
Neka je \( f : X \to Y \) neprekidno preslikavanje i neka je \( x \in X \), \( A \subset X \).
Pretpostavimo suprotno, da
$$ f(x) \notin Cl(f(A)) $$
Po definiciji zatvorenja, tada postoji otvoren skup \( B \subseteq Y \) takav da važi
- \( f(x) \in B \)
- \( B \cap f(A) = \emptyset \)
To znači da postoji okolina tačke \( f(x) \) koja ne sadrži nijednu tačku iz skupa \( f(A) \).
Zbog neprekidnosti preslikavanja \( f \), njegova inverzna slika
$$ f^{-1}(B) $$
je otvoren skup u \( X \) koji sadrži tačku \( x \).
Međutim, iz uslova \( B \cap f(A) = \emptyset \) slijedi
$$ f^{-1}(B) \cap A = \emptyset $$
Dakle, postoji otvoren skup koji sadrži \( x \), a koji ne sadrži nijednu tačku iz \( A \).
To je u suprotnosti sa pretpostavkom da je \( x \in Cl(A) \), jer tačka iz zatvorenja mora biti proizvoljno blizu skupa \( A \).
Prema tome, naša pretpostavka je pogrešna, pa zaključujemo:
$$ x \in Cl(A) \Rightarrow f(x) \in Cl(f(A)) $$
Napomena : Ključna ideja dokaza je da neprekidna preslikavanja čuvaju otvorene skupove putem inverzne slike. Zbog toga "odvajanje" tačke od skupa nakon preslikavanja automatski znači i odvajanje u polaznom prostoru.
Time je dokaz završen.
