Brzeg zbioru A jest podzbiorem A wtedy i tylko wtedy, gdy A jest zbiorem domkniętym

Brzeg \( \partial A \) zbioru \( A \) jest podzbiorem \( A \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( A \) jest zbiorem domkniętym: \[ \partial A \subseteq A \;\Longleftrightarrow\; A \text{ jest zbiorem domkniętym} \]

Przykład konkretny

Przykład 1

Rozważmy zbiór \( A \), będący dyskiem domkniętym o promieniu 1 i środku w początku układu współrzędnych w przestrzeni euklidesowej \(\mathbb{R}^2\).

$$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1 \} $$

W tym przypadku brzeg zbioru \( A \) stanowi okrąg o promieniu 1:

$$ \partial A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 \} $$

Ponieważ zbiór \( A \) zawiera wszystkie punkty swojego brzegu, spełniona jest zależność:

$$ \partial A \subseteq A $$

Otrzymujemy więc wniosek, że \( A \) jest zbiorem domkniętym.

Przykład 2

Dla porównania rozważmy zbiór \( B \), będący dyskiem otwartym o promieniu 1, również ze środkiem w początku układu współrzędnych:

$$ B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1 \} $$

Jego brzeg jest identyczny jak poprzednio i także ma postać okręgu o promieniu 1:

$$ \partial B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 \} $$

Jednak w tym przypadku punkty brzegowe nie należą do zbioru \( B \), a więc:

$$ \partial B \nsubseteq B $$

Pokazuje to jednoznacznie, że zbiór \( B \) nie jest zbiorem domkniętym.

Oba przykłady w przejrzysty sposób pokazują kluczową różnicę: każdy zbiór domknięty zawiera swój brzeg, natomiast żaden zbiór otwarty go nie zawiera.

Dowód

Przejdźmy teraz do uzasadnienia tego faktu, wykazując dwie implikacje równoważne.

1] Jeżeli brzeg zbioru \( A \) jest podzbiorem \( A \), to \( A \) jest zbiorem domkniętym

Załóżmy, że \( \partial A \subseteq A \), czyli że wszystkie punkty brzegowe zbioru \( A \) należą do \( A \).

Naszym celem jest wykazanie, że \( A \) jest zbiorem domkniętym.

Przypomnijmy, że brzeg zbioru \( A \) definiuje się jako \( \partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c} \), gdzie \( \overline{A} \) oznacza domknięcie zbioru \( A \), natomiast \( \overline{A^c} \) - domknięcie jego dopełnienia.

Punkty brzegu są więc dokładnie tymi punktami, które są jednocześnie punktami przyległymi do zbioru \( A \) oraz do jego dopełnienia.

Jeżeli wszystkie takie punkty należą do \( A \), oznacza to, że \( A \) zawiera wszystkie swoje punkty przyległe.

Zgodnie z definicją, zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie swoje punkty przyległe.

Wynika stąd, że \( A \) jest zbiorem domkniętym.

2] Jeżeli \( A \) jest zbiorem domkniętym, to \( \partial A \subseteq A \)

Załóżmy teraz, że \( A \) jest zbiorem domkniętym, i pokażmy, że jego brzeg jest podzbiorem \( A \).

Jeżeli \( A \) jest domknięty, to zachodzi równość \( A = \text{Cl}(A) \).

Brzeg zbioru \( A \) można wówczas zapisać w postaci:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$

Po podstawieniu \( \text{Cl}(A) = A \) otrzymujemy:

$$ \partial A = A \cap \text{Cl}(A^c) $$

Oznacza to, że każdy punkt brzegu należy do zbioru \( A \), co dokładnie wyraża relacja \( \partial A \subseteq A \).

3] Wniosek

Wykazaliśmy, że \( \partial A \subseteq A \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( A \) jest zbiorem domkniętym.

I tak dalej.