Zbiory gęste w przestrzeniach topologicznych

W przestrzeni topologicznej $ X $ podzbiór $ A $ nazywamy gęstym, jeżeli jego domknięcie pokrywa całą przestrzeń, czyli $$ \mathrm{Cl}(A) = X $$

Intuicyjnie oznacza to, że zbiór $ A $ jest „wszędzie obecny" w przestrzeni $ X $: każdy punkt należy do $ A $ albo można go dowolnie dokładnie przybliżyć punktami z $ A $.

Domknięcie zbioru obejmuje zarówno jego punkty, jak i wszystkie jego punkty skupienia.

Przykłady

Przykład 1

W standardowej topologii na $ \mathbb{R} $ zbiór liczb wymiernych $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $ jest gęsty.

Dlaczego? Ponieważ pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami rzeczywistymi zawsze znajdzie się liczba wymierna. W praktyce oznacza to, że każdą liczbę rzeczywistą można przybliżyć z dowolną dokładnością liczbami wymiernymi.

W konsekwencji:

$$ \mathrm{Cl}(\mathbb{Q}) = \mathbb{R} $$

Zbiór $ \mathbb{Q} $ jest więc gęsty w $ \mathbb{R} $.

Uwaga. Analogicznie jest ze zbiorem liczb niewymiernych $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $. Również on jest gęsty, ponieważ każdą liczbę rzeczywistą można przybliżyć liczbami niewymiernymi. Zatem $$ \mathrm{Cl}(\mathbb{I}) = \mathbb{R} $$

Przykład 2

Rozważmy topologię dopełnienia skończonego na $ \mathbb{R} $. W tej topologii zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest skończone.

Zbiór $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ ma dopełnienie równe $ \{0\} $, które jest zbiorem skończonym, więc jest otwarty.

A co z jego domknięciem? Jeśli dodamy brakujący punkt 0, otrzymujemy całą przestrzeń. Co więcej, nie istnieje żaden mniejszy zbiór domknięty zawierający $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $.

Stąd:

$$ \mathrm{Cl}(\mathbb{R} \setminus \{0\}) = \mathbb{R} $$

Zatem również ten zbiór jest gęsty.

Uwaga. To nie jest przypadek. W topologii dopełnienia skończonego każdy nieskończony zbiór jest gęsty. Wynika to z faktu, że jedynymi zbiorami domkniętymi są zbiory skończone oraz cała przestrzeń. Dlatego domknięcie dowolnego zbioru nieskończonego musi być równe całej przestrzeni.

Przykład 3

Nie każdy zbiór jest jednak gęsty. W standardowej topologii na $ \mathbb{R} $ przedział otwarty $ (0,1) $ nie jest gęsty.

Jego domknięcie to:

$$ \mathrm{Cl}((0,1)) = [0,1] $$

Otrzymujemy więc tylko fragment prostej rzeczywistej, a nie całą przestrzeń $ \mathbb{R} $. Dlatego zbiór $ (0,1) $ nie jest gęsty w $ \mathbb{R} $.

Uwaga. Sytuacja zmienia się, gdy zawęzimy przestrzeń. Jeśli rozpatrujemy $ (0,1) $ jako podzbiór $ [0,1] $ z topologią podprzestrzeni, to jego domknięcie jest równe $ [0,1] $. W tym sensie staje się on zbiorem gęstym.

Ten przykład pokazuje ważną rzecz: gęstość nie jest własnością absolutną zbioru, lecz zależy od przestrzeni, w której go rozpatrujemy.

I tak dalej.