Punkty skupienia zbioru w przestrzeni topologicznej

W przestrzeni topologicznej $X$ punkt $x$ nazywamy punktem skupienia podzbioru $A \subseteq X$, jeśli każde jego otoczenie zawiera co najmniej jeden punkt zbioru $A$ różny od $x$.

Inaczej mówiąc, niezależnie od tego, jak małe otoczenie punktu $x$ wybierzemy, zawsze znajdziemy w nim punkt zbioru $A$, który nie pokrywa się z $x$.

Formalnie, punkt $x$ jest punktem skupienia wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego jego otoczenia $U$ spełniony jest warunek:

$$ U \cap A \neq \emptyset $$

Warto zauważyć, że punkt skupienia nie musi należeć do zbioru $A$. Może znajdować się poza nim, a mimo to pozostawać „otoczony" przez jego elementy.

W przestrzeni $\mathbb{R}$ pojęcie punktu skupienia jest łatwe do wyobrażenia. Na prostej rzeczywistej punkt $x$ jest punktem skupienia zbioru $A$, jeśli każde jego otoczenie, czyli każdy przedział otwarty postaci $(x-\epsilon, x+\epsilon)$, zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru $A$ różny od $x$.
ilustracja punktu skupienia na prostej rzeczywistej
Ta intuicja przenosi się bezpośrednio na przestrzenie wyższych wymiarów, takie jak $\mathbb{R}^n$. W tym przypadku punkt $x$ jest punktem skupienia zbioru $A$, jeśli każde jego otoczenie przecina zbiór $A$ w punkcie innym niż sam $x$. W wyższych wymiarach obraz geometryczny jest jednak mniej oczywisty.

Przykłady
Uwagi

Przykłady

Rozważmy zbiór $A$ jako podzbiór $\mathbb{R}$ z topologią standardową.

$$ A = \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

Zbiór ten zawiera liczby $ \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots $, czyli $\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \}$.

Sprawdźmy, czy $0$ jest punktem skupienia zbioru $A$.

Weźmy dowolne otoczenie punktu $0$. Zawsze zawiera ono pewien przedział otwarty $(a, b)$, gdzie $a < 0 < b$.

Ponieważ $\frac{1}{n} \to 0$ przy $n \to \infty$, dla odpowiednio dużych $n$ znajdziemy element $\frac{1}{n}$, który należy do tego przedziału.

Oznacza to, że każde otoczenie punktu $0$ zawiera punkt zbioru $A$ różny od $0$.

Wniosek: $0$ jest punktem skupienia zbioru $A$.

graficzna reprezentacja punktu skupienia

Przykład 2

Rozważmy zbiór $B$, również będący podzbiorem $\mathbb{R}$ z topologią standardową.

$$ B = \left\{ n + \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

Zbiór ten zawiera liczby $ 1 + 1, 2 + \frac{1}{2}, 3 + \frac{1}{3}, \ldots $, czyli $\{2, 2.5, 3.333\ldots, \ldots \}$.

Przeanalizujmy punkt $1$.

Każde jego otoczenie zawiera pewien przedział $(a, b)$ taki, że $a < 1 < b$.

Jednak wszystkie elementy zbioru $B$ są większe od $1$. Aby którykolwiek z nich znalazł się w $(a, b)$, wyrażenie $n + \frac{1}{n}$ musiałoby przyjmować wartości z tego przedziału.

Tak się nie dzieje, ponieważ żaden element zbioru $B$ nie jest mniejszy ani równy $1$.

W konsekwencji żadne otoczenie punktu $1$ nie zawiera punktów zbioru $B$.

Wniosek: $1$ nie jest punktem skupienia zbioru $B$.

Przykład 3

Rozważmy zbiór $(0, 1]$ jako podzbiór $\mathbb{R}$ z topologią standardową.

Wyznaczymy wszystkie jego punkty skupienia.

Z definicji punkt $x$ jest punktem skupienia zbioru $(0, 1]$, jeśli każde jego otoczenie zawiera co najmniej jeden punkt tego zbioru różny od $x$.

Punkty wewnętrzne przedziału $(0,1]$
Niech $x \in (0, 1]$. Każde jego otoczenie zawiera przedział otwarty $(a, b)$, gdzie $a < x < b$. Oznacza to, że w każdym takim otoczeniu znajdują się punkty z przedziału $(0, 1)$, różne od $x$. W rezultacie każdy punkt $x \in (0, 1]$ jest punktem skupienia zbioru $(0, 1]$.
Punkty brzegowe przedziału $(0,1]$
Rozważmy końce przedziału: $0$ oraz $1$.
- Punkt $0$ : Mimo że $0$ nie należy do $(0, 1]$, każde jego otoczenie zawiera dodatnie liczby należące do tego zbioru. Oznacza to, że $0$ jest punktem skupienia zbioru $(0, 1]$.

- Punkt $1$ : Punkt $1$ należy do zbioru $(0, 1]$, a każde jego otoczenie zawiera punkty z przedziału $(0, 1)$, różne od $1$. Zatem $1$ również jest punktem skupienia tego zbioru.
Punkty poza przedziałem $[0, 1]$
Na koniec rozważmy punkt $x \notin [0, 1]$. Jeśli $x < 0$ lub $x > 1$, można dobrać jego otoczenie, które nie przecina zbioru $(0, 1]$.
Na przykład, gdy $x < 0$, wybieramy przedział $(x - \epsilon, x + \epsilon)$ o odpowiednio małej długości, który nie zawiera żadnych punktów z $(0, 1]$. Analogicznie postępujemy dla $x > 1$. Oznacza to, że żaden punkt spoza przedziału $[0, 1]$ nie jest punktem skupienia zbioru $(0, 1]$.

Podsumowanie: zbiór wszystkich punktów skupienia przedziału $(0, 1]$ w przestrzeni $\mathbb{R}$ z topologią standardową jest równy przedziałowi domkniętemu $[0, 1]$.

Przykład 4

Wyznaczmy zbiór punktów skupienia $ A = (0, 1] $ w topologii dolnej (topologii Sorgenfreya) na $ \mathbb{R} $.

Topologia dolnego ograniczenia na $ \mathbb{R} $ jest generowana przez przedziały postaci $[a, b)$, gdzie $ a < b $. Oznacza to, że zbiory otwarte w tej topologii są dowolnymi sumami takich przedziałów.

Przypomnijmy, że punkt $x$ jest punktem skupienia zbioru $A$, jeśli każde jego otoczenie zawiera co najmniej jeden punkt zbioru $A$ różny od $x$.

Przeanalizujmy teraz wszystkie możliwe przypadki:

Dla $x \in (0, 1)$
Każde otoczenie punktu $x$ zawiera przedział bazowy postaci $[x, x + \epsilon)$. Taki przedział zawiera nieskończenie wiele punktów zbioru $A$. Oznacza to, że $x$ jest punktem skupienia zbioru $A$.
Dla $x = 1$
Otoczenia punktu $1$ zawierają przedziały postaci $[1, 1 + \epsilon)$. Przedziały te nie zawierają żadnych punktów zbioru $A$ różnych od $1$, ponieważ wszystkie pozostałe elementy zbioru $A$ są mniejsze od $1$. Istnieje więc otoczenie punktu $1$, które nie zawiera punktów zbioru $A \setminus \{1\}$. Wniosek: punkt $1$ nie jest punktem skupienia zbioru $A$.
Dla $x = 0$
Każde otoczenie punktu $0$ zawiera przedział $[0, \epsilon)$, który obejmuje nieskończenie wiele dodatnich punktów należących do $A$. Zatem $0$ jest punktem skupienia zbioru $A$.
Dla $x < 0$ lub $x > 1$
W tych przypadkach można dobrać otoczenie postaci $[x, x + \epsilon)$, które nie przecina zbioru $A$. Takie punkty nie są więc punktami skupienia.

Ostateczny wniosek: zbiór punktów skupienia zbioru $ A = (0, 1] $ w topologii dolnej na $ \mathbb{R} $ jest równy przedziałowi półotwartemu $[0, 1)$.

Innymi słowy, wszystkie punkty skupienia zbioru $ A $ tworzą zbiór $[0, 1)$.

Uwagi

Na koniec warto podkreślić kilka ważnych własności punktów skupienia:

Domknięcie zbioru jako suma zbioru i jego punktów skupienia
Domknięcie podzbioru $A$ przestrzeni topologicznej $X$ jest równe sumie zbioru $A$ oraz zbioru $A'$ jego punktów skupienia: $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$ Oznacza to, że $\text{Cl}(A)$ zawiera wszystkie punkty zbioru $A$, a także wszystkie punkty, do których można się „zbliżyć” za pomocą ciągów (lub bardziej ogólnie filtrów i sieci) złożonych z elementów $A$.
Zbieżność ciągów do punktów skupienia
Jeśli $ A \subseteq X = \mathbb{R} $ (z topologią standardową) i $ x $ jest punktem skupienia zbioru $ A $, to istnieje ciąg $ \{x_i\} \subseteq A \setminus \{x\} $, który zbiega do $ x $. Punkt skupienia nie musi przy tym należeć do zbioru $ A $.
Jednoznaczność granicy
W topologii standardowej na $ \mathbb{R} $ granica ciągu, jeśli istnieje, jest jednoznaczna. W bardziej ogólnych przestrzeniach topologicznych własność ta nie zawsze zachodzi. W przestrzeniach niehausdorffowych ten sam ciąg może mieć więcej niż jedną granicę, co pokazuje, że jednoznaczność granicy zależy od własności separacyjnych przestrzeni.

Powyższe fakty pomagają lepiej zrozumieć rolę punktów skupienia w strukturze topologicznej zbiorów.