Domknięcie zbioru jako suma zbioru oraz zbioru jego punktów skupienia
Domknięcie zbioru \( A \) w przestrzeni topologicznej \( X \), oznaczane przez \(\overline{A}\) lub \(\text{Cl}(A)\), to suma zbioru \( A \) oraz zbioru \( A' \) jego punktów skupienia: $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Jest to jedna z podstawowych własności domknięcia w topologii. Pokazuje ona w prosty sposób, jak „uzupełnić” zbiór o wszystkie punkty, które są z nim nierozerwalnie związane z punktu widzenia struktury topologicznej.
Domknięcie zbioru \( A \) zawiera wszystkie punkty, które można dowolnie dobrze przybliżyć elementami zbioru \( A \). Innymi słowy, są to punkty, których każde otoczenie przecina \( A \).
Warto pamiętać, że punkty skupienia nie muszą należeć do samego zbioru \( A \).
Z powyższego wynika ważna własność: zbiór \( A \) jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. $$ A \text{ jest domknięty } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ Innymi słowy, zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest równy swojemu domknięciu.
Przykład
Rozważmy zbiór \( A = (0, 1) \) jako podzbiór \( \mathbb{R} \) z topologią standardową.
$$ A = (0,1) $$
Zbiór ten obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste ściśle między 0 a 1.
Sprawdźmy, jakie są jego punkty skupienia:
- Każdy punkt \( x \in (0,1) \) jest punktem skupienia, ponieważ w każdym jego otoczeniu znajdują się inne punkty zbioru \( A \).
- Punkt \( 0 \) również jest punktem skupienia, gdyż w każdym jego otoczeniu znajdują się elementy zbioru \( A \).
- Punkt \( 1 \) także jest punktem skupienia, ponieważ każde jego otoczenie zawiera elementy zbioru \( A \).
Zatem zbiór wszystkich punktów skupienia ma postać:
$$ A' = [0,1] $$
Dodając je do zbioru \( A \), otrzymujemy jego domknięcie:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
Ponieważ \( \text{Cl}(A) \ne A \), zbiór \( A \) nie jest domknięty.
Przykład 2
Rozważmy teraz zbiór \( B = [0, 1] \).
$$ B = [0,1] $$
Zbiór ten zawiera wszystkie liczby rzeczywiste od 0 do 1 wraz z końcami przedziału.
Wyznaczmy jego punkty skupienia:
- Każdy punkt \( x \in (0,1) \) jest punktem skupienia, ponieważ jego otoczenia zawierają inne punkty zbioru \( B \).
- Punkty \( 0 \) i \( 1 \) również są punktami skupienia, ponieważ każde ich otoczenie przecina zbiór \( B \).
Stąd:
$$ B' = [0,1] $$
Domknięcie zbioru \( B \) wynosi:
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0,1] $$
W tym przypadku zbiór pokrywa się ze swoim domknięciem, a więc jest domknięty.
Ten przykład dobrze pokazuje, że zbiór jest domknięty dokładnie wtedy, gdy nie „brakuje” mu żadnych punktów skupienia.
Dowód
Pokażemy teraz, że dla dowolnego podzbioru \( A \subseteq X \) zachodzi równość \( \text{Cl}(A) = A \cup A' \).
Najpierw przypomnijmy definicje:
- Domknięcie zbioru \( A \) to część wspólna wszystkich zbiorów domkniętych zawierających \( A \).
- Punkt skupienia to punkt \( x \in X \), dla którego każde otoczenie zawiera punkt zbioru \( A \setminus \{x\} \).
1] \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
Ponieważ \( \text{Cl}(A) \) jest zbiorem domkniętym zawierającym \( A \), mamy:
$$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$
Niech \( x \in A' \). Z definicji każde jego otoczenie zawiera punkt zbioru \( A \setminus \{x\} \). Gdyby \( x \notin \text{Cl}(A) \), istniałoby otoczenie \( U \), które nie przecina \( A \). Otrzymujemy sprzeczność.
Stąd:
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
A zatem:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
Niech \( x \in \text{Cl}(A) \). Jeśli \( x \in A \), to sprawa jest oczywista.
Jeśli natomiast \( x \notin A \), to każde jego otoczenie przecina zbiór \( A \). To oznacza, że \( x \) jest punktem skupienia, czyli \( x \in A' \).
Wobec tego:
$$ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
3] Wniosek
Skoro zachodzą obie inkluzje:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \quad \text{oraz} \quad \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
to otrzymujemy:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
co kończy dowód.
