Zbieżność ciągów w przestrzeniach topologicznych

Niech $ X $ będzie przestrzenią topologiczną. Punkt $ x \in X $ nazywamy granicą ciągu $ (x_n) $, jeżeli dla każdego otoczenia $ U $ punktu $ x $ istnieje liczba naturalna $ N $, taka że dla wszystkich $ n \geq N $ zachodzi $ x_n \in U $.

W praktyce oznacza to, że ciąg $ (x_n) $ zbliża się do punktu $ x $ w taki sposób, że od pewnego momentu wszystkie jego wyrazy pozostają już w dowolnie małym otoczeniu tego punktu.

Definicję tę zapisujemy symbolicznie:

$$ \lim_{n \to \infty} x_n = x $$

Wtedy mówimy, że $ x $ jest granicą ciągu $ (x_n) $.

Przykład
Interpretacja liczbowa

Przykład

Rozważmy ciąg $ \left( \frac{1}{n} \right) $ w przestrzeni topologicznej $ X = \mathbb{R} $ z topologią standardową.

$$ x_n = \frac{1}{n} $$

Pokażemy, że ciąg ten zbiega do zera, czyli że $ 0 $ jest jego granicą.

Weźmy dowolne otoczenie $ U $ punktu $ 0 $. W topologii standardowej na $ \mathbb{R} $ każde takie otoczenie zawiera pewien przedział otwarty postaci $ (-\epsilon, \epsilon) $, gdzie $ \epsilon > 0 $.

Chcemy znaleźć liczbę naturalną $ N $, taką że dla wszystkich $ n \geq N $ zachodzi $ \frac{1}{n} \in (-\epsilon, \epsilon) $.

Dla danego $ \epsilon > 0 $ wystarczy przyjąć $$ N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil. $$ Wówczas dla każdego $ n \geq N $ mamy:

$$ n \geq \frac{1}{\epsilon} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{n} \leq \epsilon $$

A zatem $$ \left| \frac{1}{n} \right| < \epsilon \quad \text{dla wszystkich } n \geq N. $$

Oznacza to, że od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu należą do wybranego otoczenia $ U $. Ponieważ wybór otoczenia był dowolny, otrzymujemy:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $$

Innymi słowy, ciąg $ \frac{1}{n} $ zbiega do zera.

Interpretacja liczbowa

Aby lepiej zrozumieć to zachowanie, spójrzmy na pierwsze dziesięć wyrazów ciągu:

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline n & \frac{1}{n} \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & 0.5 \\ 3 & 0.333 \\ 4 & 0.25 \\ 5 & 0.2 \\ 6 & 0.167 \\ 7 & 0.143 \\ 8 & 0.125 \\ 9 & 0.111 \\ 10 & 0.1 \\ \hline \end{array} $$

Widzimy, że wartości $ \frac{1}{n} $ systematycznie maleją i coraz bardziej zbliżają się do zera.

Na przykład, jeśli wybierzemy $ N = 5 $, to $ x_5 = 0.2 $. Dla każdego $ n > 5 $ wszystkie kolejne wyrazy ciągu należą do przedziału $ (0, 0.2) $, który jest otoczeniem punktu $ 0 $.

ciąg 1/n zbliżający się do zera w przestrzeni topologicznej

Jeśli wybierzemy większe $ N $, na przykład $ N = 10 $, otrzymamy jeszcze mniejsze wartości. Wówczas wszystkie wyrazy dla $ n > 10 $ należą do przedziału $ (0, 0.1) $, czyli jeszcze „bliżej” zera.

wizualizacja malejącego ciągu 1/n zbieżnego do zera

Ten przykład dobrze ilustruje ogólną ideę zbieżności w przestrzeniach topologicznych: wyrazy ciągu mogą być dowolnie blisko punktu granicznego, o ile przejdziemy wystarczająco daleko w ciągu.