Brzeg zbioru jako przecięcie domknięcia zbioru i domknięcia jego dopełnienia

Niech \( A \subseteq X \) będzie podzbiorem przestrzeni topologicznej \( X \). Brzeg zbioru \( A \), oznaczany przez \( \partial A \), definiujemy jako zbiór punktów, które należą jednocześnie do domknięcia zbioru \( A \) oraz do domknięcia jego dopełnienia: $$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

Definicja ta ma prostą interpretację geometryczną. Brzeg zbioru tworzą te punkty, które nie należą wyłącznie do wnętrza \( A \), ale też nie leżą całkowicie poza nim. Każde ich otoczenie zawiera zarówno punkty zbioru \( A \), jak i punkty jego dopełnienia.

Można więc powiedzieć, że są to punkty „na styku” dwóch obszarów, oddzielające zbiór od reszty przestrzeni.

Przykład

Rozważmy klasyczny przykład z analizy: zbiór \( A = (0,1) \), czyli przedział otwarty na prostej rzeczywistej \(\mathbb{R}\).

Domknięcie zbioru \( A \) obejmuje wszystkie punkty od 0 do 1, łącznie z krańcami:

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$

Dopełnieniem zbioru \( A \) w \(\mathbb{R}\) jest:

$$ \mathbb{R} \setminus A = (-\infty,0] \cup [1,\infty) $$

Zbiór ten jest domknięty, dlatego jego domknięcie pozostaje takie samo:

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty,0] \cup [1,\infty) $$

Wyznaczmy teraz brzeg zbioru \( A \):

$$ \partial A = [0,1] \cap \big((-\infty,0] \cup [1,\infty)\big) $$

$$ \partial A = \{0,1\} $$

Otrzymujemy intuicyjny rezultat. Brzeg przedziału \( (0,1) \) składa się z punktów 0 oraz 1, czyli z jego krańców.

Dowód zależności

Pokażemy teraz, że definicja brzegu poprzez otoczenia jest równoważna zapisowi:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

Z definicji topologicznej:

$$ \partial A = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x),\ U \cap A \neq \emptyset \ \text{i} \ U \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \} $$

gdzie \(\mathcal{N}(x)\) oznacza rodzinę otoczeń punktu \( x \).

Dowód przeprowadzimy w dwóch krokach.

Krok 1. Udowodnijmy, że \( \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \)

Niech \( x \in \partial A \). Każde otoczenie punktu \( x \) przecina \( A \) oraz \( X \setminus A \).

• \( x \in \text{Cl}(A) \)
• \( x \in \text{Cl}(X \setminus A) \)

Zatem:

$$ x \in \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

Krok 2. Udowodnijmy, że \( \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \subseteq \partial A \)

Niech \( x \in \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \).

• Każde otoczenie \( x \) przecina \( A \)
• Każde otoczenie \( x \) przecina \( X \setminus A \)

Spełniona jest więc definicja punktu brzegu:

$$ x \in \partial A $$

Wniosek

Ponieważ zachodzą obie inkluzje, otrzymujemy równość:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

To równanie jest jedną z podstawowych charakterystyk brzegu w topologii i pojawia się w wielu działach matematyki, od analizy po geometrię.