Brzeg zbioru jest zawsze zbiorem domkniętym
Brzeg zbioru jest zbiorem domkniętym. Wynika to wprost z definicji brzegu jako części wspólnej domknięcia zbioru \(A\) oraz domknięcia jego dopełnienia: $$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
W przestrzeni topologicznej \(X\) pojęcie brzegu zbioru \(A\), oznaczanego przez \(\partial A\), formalizuje intuicję „punktów granicznych”. Są to dokładnie te punkty, które należą jednocześnie do domknięcia \(A\) oraz do domknięcia zbioru \(X - A\):
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
Definicja ta ma natychmiastową konsekwencję. Skoro zarówno \(Cl(A)\), jak i \(Cl(X - A)\) są zbiorami domkniętymi, ich część wspólna również musi być domknięta. A więc brzeg zbioru jest zawsze zbiorem domkniętym.
Przykład konkretny
Rozważmy przestrzeń \(\mathbb{R}\) z topologią euklidesową, czyli standardową strukturą, w której zbiorami otwartymi są przedziały otwarte.
Niech \(A = (0, 1)\), a więc przedział otwarty pomiędzy 0 i 1.
Domknięcie zbioru \(A\) ma postać:
$$ Cl(A) = [0, 1] $$
Obejmuje ono wszystkie punkty przedziału oraz jego punkty skupienia, czyli 0 i 1.
Dopełnienie zbioru \(A\) w \(\mathbb{R}\) wynosi:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Jest to zbiór domknięty, zatem jego domknięcie nie wprowadza żadnych zmian:
$$ Cl(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Teraz obliczamy brzeg zbioru \(A\):
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(\mathbb{R} - A) $$
$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
Brzeg przedziału otwartego \((0,1)\) tworzą więc jego końce. Punkty te stanowią zbiór domknięty w \(\mathbb{R}\).
Dowód
Uzasadnienie opiera się wyłącznie na własnościach definicyjnych.
W dowolnej przestrzeni topologicznej \(X\):
- Domknięcie \(Cl(A)\) jest z definicji zbiorem domkniętym.
- Domknięcie \(Cl(X - A)\) jest również domknięte.
- Skończona część wspólna zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
Łącząc te fakty z definicją brzegu, otrzymujemy:
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
A więc \(\partial A\) jest zbiorem domkniętym.
Dowód został zakończony.
Wniosek ten ma charakter ogólny i obowiązuje w każdej przestrzeni topologicznej.
