Homeomorfizm produktów przestrzeni topologicznych

Niech \(X\), \(Y\) oraz \(Z\) będą przestrzeniami topologicznymi. Następujące przestrzenie produktowe $$ (X \times Y) \times Z $$ $$ X \times (Y \times Z) $$ $$ X \times Y \times Z $$ są wzajemnie homeomorficzne: $$ (X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z) \cong X \times Y \times Z $$

Oznacza to, że niezależnie od sposobu grupowania czynników w produkcie kartezjańskim, otrzymana przestrzeń topologiczna pozostaje taka sama z dokładnością do homeomorfizmu.

Innymi słowy, konstrukcja produktu przestrzeni topologicznych jest łączna w sensie topologicznym.

Uwaga : Własność ta jest szczególnie wygodna w praktyce. Pozwala swobodnie operować produktami wielu przestrzeni topologicznych, bez konieczności analizowania kolejności czy sposobu grupowania czynników.

Przykład

Aby lepiej uchwycić sens tej własności, rozważmy dobrze znane przestrzenie: \(\mathbb{R}\) (z topologią standardową) oraz \(\mathbb{R}^2\) (płaszczyznę kartezjańską z topologią produktową).

Weźmy trzy kopie przestrzeni \(\mathbb{R}\):

• \(X = \mathbb{R}\)
• \(Y = \mathbb{R}\)
• \(Z = \mathbb{R}\)

Przyjrzyjmy się teraz trzem możliwym sposobom budowania ich produktu:

1. Produkt \((X \times Y) \times Z\)
   Najpierw tworzymy \(X \times Y\), co daje przestrzeń \(\mathbb{R}^2\). Następnie bierzemy produkt z \(Z\), otrzymując \(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}\). Elementami tej przestrzeni są trójki \(((x, y), z)\), gdzie \(x, y, z \in \mathbb{R}\). Przestrzeń ta jest homeomorficzna z \(\mathbb{R}^3\).
2. Produkt \(X \times (Y \times Z)\)
   Tym razem zaczynamy od \(Y \times Z = \mathbb{R}^2\), a następnie tworzymy produkt z \(X\), czyli \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2\). Elementami tej przestrzeni są trójki \((x, (y, z))\). Otrzymana przestrzeń również jest homeomorficzna z \(\mathbb{R}^3\).
3. Produkt \(X \times Y \times Z\)
   Możemy też bezpośrednio rozważyć produkt trzech przestrzeni. Jego elementami są trójki \((x, y, z)\), gdzie \(x, y, z \in \mathbb{R}\). Przestrzeń ta w naturalny sposób identyfikuje się z \(\mathbb{R}^3\) i jest z nią homeomorficzna.

W każdym z powyższych przypadków otrzymujemy przestrzeń topologiczną homeomorficzną z \(\mathbb{R}^3\).

Wniosek jest prosty: sposób grupowania czynników oraz kolejność wykonywania produktów nie wpływają na strukturę topologiczną otrzymanej przestrzeni.

Przykład ten jasno pokazuje, że niezależnie od wybranej konstrukcji, produkt kartezjański przestrzeni prowadzi, z dokładnością do homeomorfizmu, do tej samej przestrzeni topologicznej.