Nie każda funkcja ciągła jest odwzorowaniem otwartym

Funkcja ciągła \( f : X \to Y \) nie musi przekształcać zbiorów otwartych przestrzeni \( X \) w zbiory otwarte przestrzeni \( Y \).

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że ciągłość „zachowuje" otwartość zbiorów. W rzeczywistości tak nie jest. Ciągłość i otwartość to dwie różne własności, które opisują działanie funkcji w odmienny sposób.

Dlatego funkcja ciągła nie jest w ogólności odwzorowaniem otwartym.

Co rozumiemy przez odwzorowanie otwarte? Odwzorowanie otwarte \( f : X \to Y \) to funkcja, która każdemu zbiorowi otwartemu w \( X \) przyporządkowuje zbiór otwarty w \( Y \).

Innymi słowy, odwzorowanie otwarte „przenosi" zbiory otwarte z dziedziny do przeciwdziedziny bez utraty ich charakteru. Sama ciągłość tego nie gwarantuje.

Przykład

Rozważmy funkcję \( f(x) = x^2 \), która jest ciągła na \( \mathbb{R} \).

Weźmy zbiór otwarty \( (-2, 2) \subset \mathbb{R} \), czyli wszystkie liczby rzeczywiste pomiędzy \( -2 \) a \( 2 \).

Zastosujmy funkcję \( f(x) = x^2 \) do tego zbioru.

$$ f(-2) = (-2)^2 = 4 \\ f(0) = 0^2 = 0 \\ f(2) = 2^2 = 4 $$

Obraz zbioru \( (-2, 2) \) przez funkcję \( f \) to przedział \( [0, 4) \).

Ten przedział nie jest zbiorem otwartym w \( \mathbb{R} \).

Dlaczego? Ponieważ punkt \( 0 \) należy do tego zbioru, ale nie ma wokół siebie otoczenia w całości zawartego w \( [0, 4) \). Jest więc punktem brzegowym.

Ten prosty przykład pokazuje coś istotnego: nawet jeśli funkcja jest ciągła, obraz zbioru otwartego może przestać być zbiorem otwartym.

Wniosek jest jasny. Funkcja \( f(x) = x^2 \), mimo że ciągła na całej prostej rzeczywistej, nie jest odwzorowaniem otwartym.

Ciągłość a otwartość - kluczowa różnica

Aby dobrze zrozumieć różnicę, warto spojrzeć na to, co dokładnie „kontroluje" każda z tych własności.

• Funkcja ciągła (w sensie topologicznym)
  Funkcja \( f : X \to Y \) jest ciągła, jeśli przeciwobraz każdego zbioru otwartego w \( Y \) jest zbiorem otwartym w \( X \).

  Ciągłość mówi o tym, co dzieje się, gdy „cofamy się" z przeciwdziedziny do dziedziny. Jeśli zaczynamy od zbioru otwartego w \( Y \), jego przeciwobraz przez \( f \) zawsze pozostaje otwarty w \( X \).

• Odwzorowanie otwarte
  Funkcja \( f : X \to Y \) jest odwzorowaniem otwartym, jeśli obraz każdego zbioru otwartego w \( X \) jest zbiorem otwartym w \( Y \).

  Otwartość działa w przeciwnym kierunku. Opisuje, co dzieje się ze zbiorami otwartymi, gdy przechodzimy z dziedziny do przeciwdziedziny. Wymaga, aby ich obrazy również były otwarte.

Podsumowanie jest proste. Ciągłość dotyczy przeciwobrazów, natomiast otwartość dotyczy obrazów. Są to dwie niezależne własności, które działają w przeciwnych kierunkach i nie należy ich ze sobą utożsamiać.

I tak dalej.