Przecięcie brzegu i wnętrza zbioru
Przecięcie brzegu \( \partial A \) oraz wnętrza \( \operatorname{Int}(A) \) dowolnego zbioru jest zawsze zbiorem pustym: $$ \partial A \cap \operatorname{Int}(A) = \emptyset $$
To proste twierdzenie odsłania jedną z kluczowych idei topologii ogólnej. Brzeg i wnętrze zbioru opisują dwa różne „typy" punktów. Punkt nie może być jednocześnie całkowicie wewnętrzny i leżący na granicy zbioru. Zobaczmy to najpierw na konkretnym przykładzie, a następnie przejdźmy do ogólnego uzasadnienia.
Przykład w przestrzeni rzeczywistej
Rozważmy przestrzeń topologiczną \(\mathbb{R}\) z topologią standardową, w której zbiorami otwartymi są przedziały otwarte.
Niech \( A = (0,1) \), czyli przedział otwarty o końcach 0 i 1.
Krok 1. Wnętrze zbioru.
Z definicji wnętrze zbioru to zbiór wszystkich punktów, dla których istnieje otoczenie zawarte w całości w tym zbiorze. Każdy punkt przedziału \((0,1)\) spełnia ten warunek, więc:
$$ \operatorname{Int}(A) = A = (0,1) $$
Krok 2. Domknięcie zbioru.
Domknięcie zbioru \(A\), oznaczane przez \( \operatorname{Cl}(A) \), zawiera wszystkie punkty zbioru oraz jego punkty skupienia. W tym przypadku są to również końce przedziału, czyli 0 i 1. Otrzymujemy:
$$ \operatorname{Cl}(A) = [0,1] $$
Krok 3. Dopełnienie zbioru.
Dopełnienie zbioru \(A\) w \(\mathbb{R}\) ma postać:
$$ \mathbb{R} \setminus A = (-\infty,0] \cup [1,\infty) $$
Jest to zbiór domknięty w \(\mathbb{R}\), a zatem:
$$ \operatorname{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty,0] \cup [1,\infty) $$
Krok 4. Brzeg zbioru.
Z definicji:
$$ \partial A = \operatorname{Cl}(A) \cap \operatorname{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) $$
Po podstawieniu obliczonych wcześniej zbiorów:
$$ \partial A = [0,1] \cap \big( (-\infty,0] \cup [1,\infty) \big) $$
Wynikiem tego przecięcia jest zbiór punktów:
$$ \partial A = \{0,1\} $$
Krok 5. Przecięcie brzegu i wnętrza.
$$ \partial A \cap \operatorname{Int}(A) = \{0,1\} \cap (0,1) $$
Punkty 0 i 1 nie należą do przedziału otwartego \((0,1)\), dlatego:
$$ \partial A \cap \operatorname{Int}(A) = \emptyset $$
Widzimy więc jasno, że żaden punkt nie należy jednocześnie do wnętrza i do brzegu zbioru.
Dowód w ogólnej przestrzeni topologicznej
Przejdźmy teraz do argumentu ogólnego.
Z definicji:
$$ \partial A = \operatorname{Cl}(A) \cap \operatorname{Cl}(X \setminus A) $$
Punkt należy do brzegu zbioru \(A\), jeśli każde jego otoczenie przecina zarówno zbiór \(A\), jak i jego dopełnienie. Oznacza to, że w dowolnie małym otoczeniu takiego punktu znajdują się punkty należące do \(A\) oraz punkty spoza \(A\).
Z kolei wnętrze:
$$ \operatorname{Int}(A) $$
składa się z tych punktów, dla których istnieje otoczenie zawarte w całości w \(A\).
Załóżmy, że \( x \in \partial A \). Wówczas każde otoczenie punktu \(x\) przecina także dopełnienie \(X \setminus A\). Nie może więc istnieć otoczenie zawarte w całości w \(A\). Stąd:
$$ x \notin \operatorname{Int}(A) $$
Z drugiej strony, jeśli \( y \in \operatorname{Int}(A) \), to istnieje otoczenie punktu \(y\) w całości zawarte w \(A\). Takie otoczenie nie przecina \(X \setminus A\), a więc:
$$ y \notin \partial A $$
Otrzymujemy wniosek:
$$ \partial A \cap \operatorname{Int}(A) = \emptyset $$
Brzeg i wnętrze zbioru są zawsze rozłączne. To jedna z podstawowych własności, która porządkuje strukturę dowolnej przestrzeni topologicznej.
Q.E.D.
