Przecięcie zbioru z jego brzegiem w topologii
Przecięcie brzegu \( \partial A \) zbioru z samym zbiorem \( A \) jest puste wtedy i tylko wtedy, gdy \( A \) jest zbiorem otwartym: $$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ jest otwarty} $$
Znaczenie tego stwierdzenia jest intuicyjne: zbiór \( A \) jest otwarty dokładnie wtedy, gdy żaden z jego punktów nie leży na jego brzegu.
Mówiąc prościej, zbiór otwarty nie „dotyka" swojej granicy. Wszystkie jego punkty znajdują się w pełni wewnątrz zbioru.
Przykład konkretny
Rozważmy klasyczny przykład, czyli przedział otwarty \((0, 1)\) na prostej rzeczywistej \(\mathbb{R}\), wyposażonej w topologię naturalną.
$$ A = (0, 1) $$
Zbiór \( A \) jest w tej topologii zbiorem otwartym.
Aby wyznaczyć jego brzeg, korzystamy z definicji mówiącej, że brzeg jest częścią wspólną domknięcia zbioru oraz domknięcia jego dopełnienia:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - A) $$
Domknięcie zbioru \( A \) to przedział domknięty \([0, 1]\):
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
Natomiast domknięcie jego dopełnienia ma postać:
$$ \text{Cl}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Podstawiając te wyniki do wzoru na brzeg, otrzymujemy:
$$ \partial A = [0, 1] \cap \left((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\right) $$
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
Sprawdźmy teraz, czy brzeg ma punkty wspólne ze zbiorem \( A \):
$$ \partial A \cap A = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$
Widzimy więc wyraźnie, że przedział otwarty \((0, 1)\) nie zawiera żadnego punktu swojego brzegu, co w pełni potwierdza jego otwartość.
Przykład 2
Dla porównania rozważmy teraz przedział domknięty \( B = [0, 1] \), również w topologii naturalnej na \(\mathbb{R}\):
$$ B = [0, 1] $$
Zbiór \( B \) jest zbiorem domkniętym.
Jego brzeg wyznaczamy analogicznie, jako część wspólną domknięcia zbioru i domknięcia jego dopełnienia:
$$ \partial B = \text{Cl}(B) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - B) $$
W tym przypadku:
$$ \text{Cl}(B) = [0, 1] $$
oraz:
$$ \text{Cl}(\mathbb{R} - B) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Stąd otrzymujemy:
$$ \partial B = [0, 1] \cap \left((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\right) $$
$$ \partial B = \{0, 1\} $$
Tym razem przecięcie brzegu ze zbiorem nie jest puste:
$$ \partial B \cap B = \{0, 1\} \cap [0, 1] = \{0, 1\} $$
Oznacza to, że przedział domknięty \([0, 1]\) zawiera punkty swojego brzegu, a więc nie jest zbiorem otwartym.
Dowód
Przejdźmy teraz do ogólnego uzasadnienia tej własności.
(⇒) Jeśli \( \partial A \cap A = \emptyset \), to \( A \) jest otwarty
Załóżmy, że zbiór \( A \) nie ma punktów wspólnych ze swoim brzegiem:
$$ \partial A \cap A = \emptyset $$
Oznacza to, że każdy punkt \( x \in A \) nie leży na granicy między \( A \) a jego dopełnieniem. W konsekwencji istnieje otoczenie punktu \( x \), które w całości zawiera się w \( A \).
Jest to dokładnie warunek definiujący zbiór otwarty w topologii.
Zatem \( A \) jest zbiorem otwartym.
(⇐) Jeśli \( A \) jest otwarty, to \( \partial A \cap A = \emptyset \)
Załóżmy teraz, że \( A \) jest zbiorem otwartym.
Wówczas każdy jego punkt posiada otoczenie w całości zawarte w \( A \), a więc nie może leżeć na granicy pomiędzy \( A \) a jego dopełnieniem.
Oznacza to, że żaden punkt zbioru \( A \) nie należy do jego brzegu.
Stąd bezpośrednio wynika:
$$ \partial A \cap A = \emptyset $$
Wniosek
Pokazaliśmy, że zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera żadnego ze swoich punktów brzegowych: $$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ jest otwarty} $$
Własność ta stanowi jedno z podstawowych i najbardziej użytecznych kryteriów rozpoznawania zbiorów otwartych w topologii.
