Pusta granica i zbiory jednocześnie otwarte i domknięte

Granica \(\partial A\) zbioru \(A\) jest pusta wtedy i tylko wtedy, gdy \(A\) jest jednocześnie zbiorem otwartym i domkniętym (clopen) : $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ jest jednocześnie otwarty i domknięty} $$

Oznacza to, że zbiór \(A\) nie ma żadnych punktów granicznych. Innymi słowy, nie istnieją punkty, które należałyby jednocześnie do domknięcia zbioru \(A\) oraz do domknięcia jego dopełnienia.

Przykłady

Przykład 1

Rozważmy zbiór pusty \( A = \emptyset \) w przestrzeni topologicznej \(\mathbb{R}\) z topologią standardową.

Sprawdźmy krok po kroku, czy jego granica jest pusta.

Domknięcie zbioru pustego jest równe:

$$ \text{Cl}(A) = \emptyset $$

Dopełnieniem zbioru \(A\) jest cała przestrzeń rzeczywista \(A^c = \mathbb{R}\), która jako zbiór domknięty jest równa swojemu domknięciu:

$$ \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R} $$

Z definicji granicy otrzymujemy:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset \cap \mathbb{R} = \emptyset $$

Granica jest więc pusta. Oznacza to, że zbiór \(A\) jest jednocześnie otwarty i domknięty. W istocie, zbiór pusty jest zawsze otwarty, a także domknięty, ponieważ nie posiada żadnych punktów przyległych.

Przykład 2

Rozważmy teraz zbiór \( A = \mathbb{R} \), nadal z topologią standardową.

Jego domknięcie jest równe całej przestrzeni:

$$ \text{Cl}(A) = \mathbb{R} $$

Dopełnieniem zbioru \(A\) jest zbiór pusty \(A^c = \emptyset\), którego domknięcie również jest puste:

$$ \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$

Stąd bezpośrednio wynika:

$$ \partial A = \mathbb{R} \cap \emptyset = \emptyset $$

Również w tym przypadku granica jest pusta. Zbiór \(\mathbb{R}\) jest więc jednocześnie otwarty i domknięty w topologii standardowej.

Przykład 3

Niech teraz \(A = [0,1)\), nadal rozpatrywany w przestrzeni \(\mathbb{R}\) z topologią standardową.

Domknięciem zbioru \(A\) jest przedział \([0,1]\), natomiast jego dopełnieniem jest zbiór:

$$ A^c = (-\infty, 0) \cup [1, \infty) $$

Domknięcie dopełnienia ma zatem postać:

$$ \text{Cl}(A^c) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Obliczając granicę zbioru \(A\), otrzymujemy:

$$ \partial A = [0,1] \cap \left( (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \right) = \{0, 1\} $$

W tym przypadku granica nie jest pusta, dlatego zbiór \(A\) nie jest jednocześnie otwarty i domknięty. Zbiór \(A = [0,1)\) jest przykładem zbioru półotwartego, który nie jest ani otwarty, ani domknięty w \(\mathbb{R}\) z topologią standardową.

Przykłady te jasno pokazują, że pusta granica jest charakterystyczną cechą zbiorów jednocześnie otwartych i domkniętych.

Dowód

Z definicji granica zbioru \(A\) dana jest wzorem:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$

Pokażemy teraz, że zachodzi równoważność: $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ jest jednocześnie otwarty i domknięty} $$ dowodząc osobno obu implikacji.

1] Jeżeli granica zbioru jest pusta, to \(A\) jest otwarty i domknięty

Załóżmy, że:

$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$

Oznacza to, że domknięcia zbioru \(A\) i jego dopełnienia są rozłączne.

Czy zbiór \(A\) jest domknięty?

Z założenia wynika:

$$ \text{Cl}(A) \subseteq \left( \text{Cl}(A^c) \right)^c \subseteq (A^c)^c = A $$

Ponieważ zawsze zachodzi inkluzja \( A \subseteq \text{Cl}(A) \), otrzymujemy:

$$ \text{Cl}(A) = A $$

Dowodzi to, że zbiór \(A\) jest domknięty.

Czy zbiór \(A\) jest otwarty?

Analogicznie otrzymujemy:

$$ \text{Cl}(A^c) \subseteq A^c $$

Oznacza to, że dopełnienie \(A^c\) jest zbiorem domkniętym, a więc sam zbiór \(A\) jest otwarty.

Wynika stąd, że jeżeli granica zbioru \(A\) jest pusta, to \(A\) jest jednocześnie otwarty i domknięty.

2] Jeżeli \(A\) jest jednocześnie otwarty i domknięty, to jego granica jest pusta

Załóżmy teraz, że zbiór \(A\) jest jednocześnie otwarty i domknięty.

Wtedy zachodzi:

$$ A = \text{Cl}(A), \quad A^c = \text{Cl}(A^c) $$

Podstawiając do definicji granicy, otrzymujemy:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = A \cap A^c $$

Iloczyn zbioru i jego dopełnienia jest zawsze pusty, stąd:

$$ \partial A = \emptyset $$

3] Wniosek

Wykazaliśmy w sposób ścisły, że granica zbioru jest pusta wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór ten jest jednocześnie otwarty i domknięty.

Co należało dowieść.