Skończone przecięcia zbiorów otwartych w topologii ilorazowej

W topologii ilorazowej obowiązuje kluczowa własność: przeciwobraz skończonego przecięcia zbiorów otwartych \( U_i \) jest równy przecięciu ich przeciwobrazów, które są zbiorami otwartymi w przestrzeni wyjściowej \( X \) : $$ p^{-1}\left( \bigcap U_i \right) = \bigcap p^{-1}(U_i) $$ W konsekwencji każde skończone przecięcie zbiorów otwartych pozostaje zbiorem otwartym w topologii ilorazowej.

Przykład

Rozważmy jedną z najczęściej analizowanych przestrzeni ilorazowych: \( A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} \). Można ją intuicyjnie postrzegać jako okrąg.

Punktem wyjścia jest przestrzeń \( \mathbb{R} \) z topologią standardową. Odwzorowanie ilorazowe \( p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} \) przypisuje każdej liczbie rzeczywistej jej część ułamkową, czyli „zawija” prostą rzeczywistą na okrąg.

W praktyce oznacza to, że przestrzeń ilorazowa może być utożsamiona z przedziałem półotwartym [0,1), w którym punkty 0 i 1 są ze sobą utożsamione.

Na przykład liczby 0{,}3, 1{,}3 oraz 2{,}3 odpowiadają dokładnie temu samemu punktowi 0{,}3 na okręgu.

Przyjrzyjmy się teraz dwóm zbiorom otwartym w przestrzeni ilorazowej \( A \):

$$ U_1 = (0{,}1, 0{,}5) $$

$$ U_2 = (0{,}3, 0{,}7) $$

Są to zbiory otwarte w \( \mathbb{R}/\mathbb{Z} \), czyli w rozważanej topologii ilorazowej.

Ich przecięcie jest łatwe do wyznaczenia:

$$ U_1 \cap U_2 = (0{,}3, 0{,}5) $$

Otrzymujemy przedział otwarty zawarty w okręgu, a więc również zbiór otwarty w przestrzeni ilorazowej \( A \).

Aby lepiej zrozumieć, dlaczego tak się dzieje, spójrzmy na przeciwobrazy tych zbiorów w \( \mathbb{R} \).

Każdy z nich jest sumą nieskończenie wielu przedziałów otwartych, powtarzających się okresowo na osi rzeczywistej:

$$ p^{-1}(U_1) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}1,\ n + 0{,}5) $$

$$ p^{-1}(U_2) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}3,\ n + 0{,}7) $$

Jeśli teraz przetniemy te dwa zbiory, otrzymamy:

$$ p^{-1}(U_1 \cap U_2) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}3,\ n + 0{,}5) $$

Powstaje przeliczalna rodzina parami rozłącznych przedziałów otwartych, która tworzy zbiór otwarty w standardowej topologii \( \mathbb{R} \).

To właśnie ten fakt jest kluczowy: ponieważ przeciwobraz przecięcia jest zbiorem otwartym w przestrzeni wyjściowej, samo przecięcie musi być zbiorem otwartym w topologii ilorazowej.

Widzimy więc, że własność ta nie jest przypadkowa, lecz wynika bezpośrednio z definicji topologii ilorazowej.

Wniosek jest ogólny: każde skończone przecięcie zbiorów otwartych w przestrzeni ilorazowej pozostaje zbiorem otwartym.

Ta zasada obowiązuje dla dowolnej skończonej rodziny zbiorów otwartych i stanowi jedną z podstawowych własności każdej topologii.