Suma zbiorów otwartych w przestrzeni ilorazowej

Niech $ \{U_i\} $ będzie rodziną zbiorów otwartych w przestrzeni ilorazowej $ Q $. Kluczowa własność polega na tym, że przeciwobraz sumy tych zbiorów względem odwzorowania ilorazowego jest równy sumie ich przeciwobrazów, z których każdy jest zbiorem otwartym w przestrzeni wyjściowej $ X $ : $$ p^{-1}\left( \bigcup U_i \right) = \bigcup p^{-1}(U_i) $$ Oznacza to, że suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych w $ Q $ pozostaje zbiorem otwartym w topologii ilorazowej.

Przykład ilustrujący

Aby lepiej zrozumieć tę własność, rozważmy klasyczny przykład. Weźmy zbiór liczb rzeczywistych $ \mathbb{R} $ z jego topologią standardową i zdefiniujmy przestrzeń ilorazową za pomocą odwzorowania $ p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, które każdej liczbie przyporządkowuje jej klasę równoważności modulo 1.

W praktyce oznacza to, że dwie liczby różniące się o liczbę całkowitą traktujemy jako ten sam punkt. Innymi słowy, odwzorowanie $ p $ „zawija" prostą rzeczywistą na okrąg, a obraz liczby odpowiada jej części ułamkowej.

Na przykład liczby 0{,}3, 1{,}3, 2{,}3 itd. odpowiadają temu samemu punktowi 0{,}3 w przestrzeni ilorazowej.

intuicyjna wizualizacja zawijania prostej rzeczywistej na okrąg w przestrzeni ilorazowej R modulo Z

W ten sposób przestrzeń $ Q $ można interpretować jako okrąg, którego punkty odpowiadają liczbom rzeczywistym z przedziału [0,1), czyli od 0 włącznie do 1 z wyłączeniem tego punktu.

Rozważmy teraz dwa przykładowe zbiory otwarte w $ Q = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ :

$ U_1 = (0{,}1, 0{,}4) $
$ U_2 = (0{,}6, 0{,}8) $

Można je interpretować jako dwa rozłączne łuki na okręgu.

Sprawdźmy, jak wygląda ich suma oraz jej przeciwobraz.

Przeciwobraz zbioru $ U_1 $ przez $ p $ to nieskończona suma przesuniętych przedziałów w $ \mathbb{R} $ :
\[ p^{-1}(U_1) = (0{,}1, 0{,}4) \cup (1{,}1, 1{,}4) \cup (2{,}1, 2{,}4) \cup \dots \]
Analogicznie dla $ U_2 $ otrzymujemy :
\[ p^{-1}(U_2) = (0{,}6, 0{,}8) \cup (1{,}6, 1{,}8) \cup (2{,}6, 2{,}8) \cup \dots \]

Suma tych zbiorów w przestrzeni ilorazowej ma postać :

$$ U_1 \cup U_2 = (0{,}1, 0{,}4) \cup (0{,}6, 0{,}8) $$

Jej przeciwobraz spełnia zależność :

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = p^{-1}(U_1) \cup p^{-1}(U_2) $$

Czyli :

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = (0{,}1, 0{,}4) \cup (0{,}6, 0{,}8) \cup (1{,}1, 1{,}4) \cup (1{,}6, 1{,}8) \cup (2{,}1, 2{,}4) \cup (2{,}6, 2{,}8) \cup \dots $$

Otrzymujemy więc zbiór będący sumą przedziałów otwartych w $ \mathbb{R} $, a zatem zbiór otwarty w topologii standardowej.

Wniosek jest istotny. Skoro przeciwobraz sumy jest zbiorem otwartym, to sama suma $ U_1 \cup U_2 $ jest zbiorem otwartym w przestrzeni ilorazowej $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $.

To rozumowanie działa w pełnej ogólności. Każda suma, niezależnie od tego, czy jest skończona czy nieskończona, zachowuje własność bycia zbiorem otwartym w topologii ilorazowej.