Twierdzenie o topologii podprzestrzeni iloczynu przestrzeni topologicznych

Niech \(A\) i \(B\) będą odpowiednio podzbiorami przestrzeni topologicznych \(X\) i \(Y\), $$ A \subset X $$ $$ B \subset Y $$ wówczas topologia na iloczynie \(A \times B\), rozpatrywanym jako podprzestrzeń \(X \times Y\), jest identyczna z topologią iloczynową na \(A \times B\), skonstruowaną na podstawie topologii indukowanych na \(A\) i \(B\) przez \(X\) i \(Y\): $$ \quad \tau_{A \times B}^{\text{sub}} = \tau_A^{\text{sub}} \times \tau_B^{\text{sub}} $$

Symbol \(\tau_{A \times B}^{\text{sub}}\) oznacza topologię podprzestrzeni na \(A \times B\), odziedziczoną po topologii iloczynowej na \(X \times Y\). Z kolei \(\tau_A^{\text{sub}}\) oraz \(\tau_B^{\text{sub}}\) to topologie indukowane na \(A\) i \(B\) przez odpowiednie przestrzenie \(X\) i \(Y\).

Treść twierdzenia jest prosta, ale bardzo istotna: niezależnie od tego, jak skonstruujemy topologię na \(A \times B\), otrzymamy dokładnie ten sam rezultat.

Możemy więc patrzeć na \(A \times B\) jako na podprzestrzeń większej przestrzeni \(X \times Y\), albo najpierw wyposażyć \(A\) i \(B\) w ich własne topologie, a następnie zbudować ich iloczyn. Obie drogi prowadzą do identycznej struktury topologicznej.

Przykład

Aby lepiej zrozumieć sens tego twierdzenia, rozważmy prosty przykład geometryczny.

Weźmy dwie przestrzenie topologiczne \(X\) i \(Y\), które możemy utożsamić z osiami płaszczyzny kartezjańskiej. Oś \(X\) odpowiada osi odciętych, a oś \(Y\) osi rzędnych.

Niech \(A \subseteq X\) oraz \(B \subseteq Y\). Przyjmijmy konkretnie \(A = [1, 2]\) oraz \(B = [3, 4]\).

Iloczyn kartezjański \(A \times B\) to zbiór wszystkich punktów \((x, y)\), dla których \(x \in A\) i \(y \in B\). Geometrycznie jest to prostokąt na płaszczyźnie, ograniczony przez wartości \(x\) od 1 do 2 oraz \(y\) od 3 do 4.

Na zbiorze \(A \times B\) możemy zdefiniować topologię na dwa sposoby:

1. Topologia podprzestrzeni
   Traktujemy \(A \times B\) jako podprzestrzeń \(X \times Y\), czyli całej płaszczyzny wyposażonej w topologię iloczynową. Topologia na \(A \times B\) jest wtedy ograniczeniem tej większej topologii.
2. Topologia iloczynowa
   Najpierw rozpatrujemy \(A\) i \(B\) jako osobne przestrzenie z topologiami indukowanymi przez \(X\) i \(Y\), a następnie budujemy topologię iloczynową na \(A \times B\).

Twierdzenie mówi, że oba podejścia są równoważne. W praktyce oznacza to, że nie musimy się martwić, którą metodę wybierzemy, ponieważ zawsze otrzymamy tę samą topologię.

To ważna własność, która upraszcza pracę z iloczynami przestrzeni topologicznych i pozwala swobodnie przechodzić między różnymi punktami widzenia.

I tak dalej...