Twierdzenie o wnętrzu iloczynu zbiorów

Niech \(A\) oraz \(B\) będą podzbiorami odpowiednio przestrzeni topologicznych \(X\) i \(Y\). Wnętrze ich iloczynu kartezjańskiego \(A \times B\) jest równe iloczynowi ich wnętrz. Innymi słowy: $$ \operatorname{Int}(A \times B) = \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$

Twierdzenie to jest jedną z podstawowych własności topologii produktowej. Pokazuje ono, w jaki sposób operacja iloczynu kartezjańskiego współgra z pojęciem wnętrza zbioru.

W praktyce oznacza to, że aby znaleźć wnętrze iloczynu dwóch zbiorów, nie trzeba wykonywać skomplikowanych obliczeń. Wystarczy wyznaczyć wnętrza tych zbiorów osobno, a następnie utworzyć ich iloczyn.

Przykład

Rozważmy przestrzenie topologiczne \(X = \mathbb{R}\) oraz \(Y = \mathbb{R}\), a także podzbiory \(A = (0, 2)\) i \(B = (1, 3)\).

Są to otwarte przedziały w \(\mathbb{R}\), więc ich wnętrza pokrywają się z nimi samymi.

$$ \operatorname{Int}(A) = (0, 2) $$

$$ \operatorname{Int}(B) = (1, 3) $$

Tworzymy teraz iloczyn wnętrz:

$$ \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) = (0, 2) \times (1, 3) $$

Jest to zbiór wszystkich par \((x, y)\), dla których:

$$ x \in (0, 2), \quad y \in (1, 3) $$

Geometrycznie otrzymujemy otwarty prostokąt w płaszczyźnie \(\mathbb{R}^2\).

Sprawdźmy teraz, jak wygląda wnętrze iloczynu zbiorów \(A \times B\).

Ponieważ \(A \times B = (0, 2) \times (1, 3)\), jego wnętrze jest tym samym zbiorem.

Otrzymujemy więc:

$$ \operatorname{Int}(A \times B) = (0, 2) \times (1, 3) $$

Widzimy zatem, że:

$$ \operatorname{Int}(A \times B) = \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$

Przykład ten dobrze pokazuje, jak działa omawiana własność.

Dowód

Aby udowodnić twierdzenie, wystarczy wykazać dwie inkluzje. Dzięki temu otrzymamy równość zbiorów.

1] Iloczyn wnętrz zawiera się we wnętrzu iloczynu

Pokażemy, że:

$$ \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) \subseteq \operatorname{Int}(A \times B) $$

Weźmy dowolny punkt \((x, y)\), taki że \(x \in \operatorname{Int}(A)\) oraz \(y \in \operatorname{Int}(B)\).

Oznacza to, że istnieją zbiory otwarte \(U \subseteq X\) oraz \(V \subseteq Y\), dla których:

$$ x \in U \subseteq A, \quad y \in V \subseteq B $$

Wówczas zbiór \(U \times V\) jest otwarty w \(X \times Y\) i spełnia:

$$ (x, y) \in U \times V \subseteq A \times B $$

To oznacza, że \((x, y)\) jest punktem wewnętrznym zbioru \(A \times B\).

2] Wnętrze iloczynu zawiera się w iloczynie wnętrz

Teraz pokażemy, że:

$$ \operatorname{Int}(A \times B) \subseteq \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$

Niech \((x, y) \in \operatorname{Int}(A \times B)\). Wówczas istnieje zbiór otwarty \(W \subseteq X \times Y\), taki że:

$$ (x, y) \in W \subseteq A \times B $$

Z własności topologii produktowej wynika, że można znaleźć zbiory otwarte \(U \subseteq X\) oraz \(V \subseteq Y\), dla których:

$$ (x, y) \in U \times V \subseteq W $$

Stąd wynika:

$$ U \subseteq A, \quad V \subseteq B $$

czyli:

$$ x \in \operatorname{Int}(A), \quad y \in \operatorname{Int}(B) $$

3] Wniosek

Skoro zachodzą obie inkluzje:

$$ \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) \subseteq \operatorname{Int}(A \times B) $$

$$ \operatorname{Int}(A \times B) \subseteq \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$

to otrzymujemy równość:

$$ \operatorname{Int}(A \times B) = \operatorname{Int}(A) \times \operatorname{Int}(B) $$

co kończy dowód twierdzenia.